Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

    Lời giải Bài 54 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 353 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

    Bài 54 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính:

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD;

    b) Chiều cao và thể tích của khối tứ diện đều ABCD;

    c) Côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD);

    d) Côsin của số đo góc nhị diện [C, AB, D].

    Lời giải:

    Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

    a) Do ABCD là tứ diện đều cạnh nên các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD là các tam giác đều cạnh a.

    Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên BM=AM=CN=DN=a2.

    Xét tam giác ABC đều có CM là đường trung tuyến (do M là trung điểm AB).

    Suy ra CM là đường cao của tam giác ABC hay CM ⊥ AB.

    Chứng minh tương tự đối với các tam giác ABD, BCD, ACD đều ta có: DM ⊥ AB, BN ⊥ CD, AN ⊥ CD.

    · Ta có: AB ⊥ CM, AB ⊥ DM, CM ∩ DM = M trong (CDM)

    Suy ra AB ⊥ (CDM).

    Mà MN ⊂ (CDM) nên AB ⊥ MN.

    · Ta có: CD ⊥ BN, CD ⊥ AN, BN ∩ AN = N trong (ABN)

    Suy ra CD ⊥ (ABN).

    Mà MN ⊂ (ABN) nên CD ⊥ MN.

    Ta có: AB ⊥ MN, CD ⊥ MN.

    Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.

    Như vậy: d(AB, CD) = MN.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác BCM vuông tại M có:

    MC2 = BC2 – BM2

    ⇒MC=BC2–BM2=a2−a22=a32.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác CMN vuông tại N có:

    CM2 = MN2 + CN2

    ⇒MN=CM2−CN2=a322−a22=a22.

    Vậy dAB,CD=MN=a22.

    b) Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) hay AH ⊥ (BCD).

    Do ABCD là tứ diện đều, nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCD.

    Vì tam giác BCD đều nên H cũng là trọng tâm của tam giác BCD.

    Mà BN là đường trung tuyến của tam giác BCD (do N là trung điểm của CD)

    Suy ra: H ∈ BN và BH=23BN.

    Ta có: AH ⊥ (BCD), BH ⊂ (BCD) nên AH ⊥ BH.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác BCN vuông tại N có:

    BC2 = BN­2 + CN2

    Suy ra BN=BC2−CN2=a2−a22=a32.

    Từ đó ta có BH=23BN=23⋅a32=a33.

    · Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABH vuông tại H (do AH ⊥ BH) có:

    AB2 = AH2 + BH2

    Suy ra AH=AB2−BH2=a2−a332=a63.

    · Diện tích tam giác BCD là:

    SBCD=12.BN.CD=12.a32.a=a234(đvdt).

    · Thể tích của khối tứ diện ABCD có đường cao AH=a63, và diện tích đáy SBCD=a234 là:

    VABCD=13  .​  SBCD .  AH=13.a234.a63=a3212 (đvtt).

    c) Do H là hình chiếu của A trên (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BH và bằng ABH^.

    Xét tam giác ABH vuông tại H có: cosABH^=BHAB=a33a=33.

    Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) là 33.

    d) Theo câu a ta có: CM ⊥ AB, DM ⊥ AB, CM ∩ DM = M ∈ AB.

    Nên CMD^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [C, AB, D].

    Xét tam giác CMD, theo hệ quả định lí Côsin ta có:

    cosCMD^=CM2+DM2−CD22CM.DM

    ⇒cosCMD^=a322+a322−a22.a32.a32=13.

    Vậy côsin của số đo góc nhị diện [C, AB, D] bằng 13

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 51 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2a2 và có chiều cao bằng 3a thì có thể tích bằng:...

    Bài 52 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Một khối chóp có diện tích đáy bằng 2a2 và có chiều cao bằng 3a thì có thể tích bằng:...

    Bài 53 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Một khối chóp cụt đều có chiều cao bằng 6a, diện tích của hai đáy lần lượt...

    Bài 54 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính:...

    Bài 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính:...

    Bài 56 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục ...

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 5: Khoảng cách

    Bài tập cuối chương 8

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 353 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: