Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ vuông góc (ABCD), AA’ = 2a

    Lời giải Bài 50 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 475 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

    Bài 50 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ ⊥ (ABCD), AA’ = 2a, AC = a. Tính khoảng cách:

    a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’);

    b) Giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (CDD’C’);

    c*) Giữa hai đường thẳng BD và A’C.

    Lời giải:

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ ⊥ (ABCD), AA’ = 2a, AC = a

    a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC hay AH ⊥ BC.

    Do ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên AA’ // BB’.

    Mà AA’ ⊥ (ABCD) nên BB’ ⊥ (ABCD).

    Hơn nữa AH ⊂ (ABCD).

    Từ đó ta có BB’ ⊥ AH.

    Ta có: AH ⊥ BC, AH ⊥ BB’, BC ∩ BB’ = B trong (BCC’B’)

    Suy ra AH ⊥ (BCC’B’).

    Như vậy d(A, (BCC’B’)) = AH.

    Xét tam giác ABC đều (do AB = BC = AC = a), AH là đường cao (do AH ⊥ BC)

    Suy ra AH là đường trung tuyến nên ta có BH=BC2=a2.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABH vuông tại H có:

    AB2 = AH2 + BH2

    Suy ra AH=AB2−BH2=a2−a22=a32.

    Vậy dA,BCC'B'=AH=a32.

    b) Do ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên (ABB’A’) // (CDD’C’).

    Như vậy: d((ABB’A’), (CDD’C’)) = d(A, (CDD’C’)).

    Gọi I là hình chiếu của A trên CD hay AI ⊥ CD.

    Do ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên AA’ // DD’.

    Mà AA’ ⊥ (ABCD) nên DD’ ⊥ (ABCD).

    Hơn nữa AI ⊂ (ABCD).

    Từ đó ta có DD’ ⊥ AI.

    Ta có: AI ⊥ CD, AI ⊥ DD’, CD ∩ DD’ = D trong (CDD’C’)

    Suy ra AI ⊥ (CDD’C’).

    Khi đó: d(A, (CDD’C’)) = AI.

    Xét tam giác ACD đều (do AC = AD = DC = a), AI là đường cao (do AI ⊥ CD)

    Suy ra AI là đường trung tuyến nên ta có ID=CD2=a2.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADI vuông tại I có:

    AD2 = AI2 + DI2

    Suy ra AI=AD2−DI2=a2−a22=a32.

    Vậy dABB'A',CDD'C'=AI=a32.

    c) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

    Ta có ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD và AO=AC2=a2.

    Do AA’ ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên AA’ ⊥ BD.

    Ta có: BD ⊥ AA’, BD ⊥ AC, AA’ ∩ AC = A trong (AA’C)

    Suy ra BD ⊥ (AA’C).

    Gọi E là hình chiếu của O trên A’C hay OE ⊥ A’C.

    Lại có: BD ⊥ (AA’C), OE ⊂ (AA’C).

    Suy ra BD ⊥ OE.

    Mà OE ⊥ A’C.

    Từ đó ta có OE là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và A’C.

    Như vậy: d(BD, A’C) = OE.

    Do AA’ ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên AA’ ⊥ AC.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A’AC vuông tại A ta có:

    A'C2 = A'A2 + AC2

    Suy ra A'C=A'A2+AC2=2a2+a2=a5.

    Xét tam giác CEO và tam giác CAA’ có:

    OCE^ chung

    A'AC^=OEC^=90°

    Suy ra ΔCEO∽ΔCAA'  g.g

    ⇒EOAA'=COCA'⇒OE=AA'.COCA'.

    ⇒OE=2a.a2a5=a55.

    Vậy dBD.A'C=OE=a55.

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 45 trang 109 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a....

    Bài 46 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Hình 40 minh hoạ hình ảnh một chiếc gậy dài 3 m đặt dựa vào tường,...

    Bài 47 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Tính khoảng cách:...

    Bài 48 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a,...

    Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O,....

    Bài 50 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ ⊥ (ABCD),...

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

    Bài tập cuối chương 8

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 475 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: