Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O

    Lời giải Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 495 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

    Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a. Tính khoảng cách:

    a) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD);

    b) Giữa hai đường thẳng SO và CD;

    c) Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD);

    d*) Giữa hai đường thẳng AB và SD.

    Lời giải:

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a

    a) Ta có: SO ⊥ (ABCD), AO ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AO.

    Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD hay AO ⊥ BD.

    Ta có: AO ⊥ SO, AO ⊥ DB, SO ∩ BD = O trong (SBD)

    Suy ra AO ⊥ (ABCD).

    Như vây: d(A, (SBD)) = AO.

    Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=a2.

    Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

    ⇒AO=AC2=a22.

    Vậy dA,SBD=a22.

    b) Gọi M là hình chiếu của O trên CD hay OM ⊥ CD.

    Do SO ⊥ (ABCD), OM ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ OM.

    Từ đó ta thấy OM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SO và CD.

    Như vậy: d(SO, CD) = OM.

    Xét hình vuông ABCD có: OM ⊥ CD, AD ⊥ CD nên OM // AD.

    Xét tam giác ACD có: OM // AD, O là trung điểm của AD.

    Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD nên M là trung điểm của CD

    ⇒OM=AD2=a2.

    Vậy dSO,CD=OM=a2.

    c) Gọi H là hình chiếu của O trên SM hay OH ⊥ SM.

    Do SO ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ CD.

    Ta có: CD ⊥ OM, CD ⊥ SO, SO ∩ OM = O trong (SOM)

    Suy ra CD ⊥ (SOM).

    Mà OH ⊂ (SOM) nên CD ⊥ OH.

    Ta có: OH ⊥ SM, OH ⊥ CD, SM ∩ CD = M trong (SCD)

    Suy ra OH ⊥ (SCD).

    Như vậy: d(O, (SCD)) = OH.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O có:

    SO2 = SA2 – AO2

    ⇒SO2=2a2−a222=7a22.

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH ta có:

    1OH2=1SO2+1OM2=27a2+4a2=307a2

    ⇒OH=a21030.

    Vậy dO,SCD=a21030.

    d*) Ta có: AB // CD (do ABCD là hình vuông), CD ⊂ (SCD) nên AB // (SCD).

    Do đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

    Gọi K là hình chiếu của A trên (SCD) hay AK ⊥ (SCD).

    Khi đó d(A, (SCD)) = AK.

    Ta có: H, K lần lượt là hình chiếu của O và A trên (SCD)

    Mà C, O, A thẳng hàng nên C, H, K thẳng hàng.

    Lại có: OH ⊥ (SCD), AK ⊥ (SCD).

    Suy ra OH // AK.

    Tam giác ACK có OH // AK, nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:

    OHAK=OCAC=12 (do O là trung điểm của AC)

    ⇒AK=2OH=2.a21030=a21015.

    Vậy dAB,SD=dA,SCD=AK=a21015.

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 45 trang 109 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a....

    Bài 46 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Hình 40 minh hoạ hình ảnh một chiếc gậy dài 3 m đặt dựa vào tường,...

    Bài 47 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Tính khoảng cách:...

    Bài 48 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a,...

    Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O,....

    Bài 50 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ ⊥ (ABCD),...

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

    Bài tập cuối chương 8

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 495 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: