Cho dãy số (un) biết u1 = 2 và un = căn (2 +u^2 (n - 1)) với mọi n >= 2

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 8 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}$  với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là: u₁ = 2;

$u_2=\sqrt{2+u_1^2}=\sqrt{2+2^2}=\sqrt{6}$;

$u_3=\sqrt{2+u_2^2}=\sqrt{2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$;

$u_4=\sqrt{2+u_3^2}=\sqrt{2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{10}$;

$u_5=\sqrt{2+u_4^2}=\sqrt{2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

Ta thấy $2=\sqrt{2.\left(1+1\right)}$ ; $\sqrt{6}=\sqrt{2.\left(2+1\right)}$ ; $\sqrt{8}=\sqrt{2.\left(3+1\right)}$ ;

$\sqrt{10}=\sqrt{2.\left(4+1\right)}$; $\sqrt{12}=\sqrt{2.\left(5+1\right)}$ .

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_n=\sqrt{2\left(n+1\right)}$ .