Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 3   

Bài 7 trang 80 Toán 11 Tập 1: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Lời giải:

a)

+) (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

p₂ = $p_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{1}{2}.\left(3a\right)=\frac{1}{2}.p_1$;

p₃ = $p_{\Delta A_2{B}_2{C}_2}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.\left(3a\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.p_1$; ...; $p_{\Delta A_n{B}_n{C}_n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.p_1$; ...

Suy ra:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\left(3a\right)\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3a\right)=0.3a=0$.

+) (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và h = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: S₁ = S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ah; S₂ = $S_{\Delta A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{h}{2}=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{2}ah\right)=\frac{1}{4}.S_1$;

S₃ = $S_{\Delta A_2{B}_2{C}_2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{4}.\frac{h}{4}={\left(\frac{1}{4}\right)}^2.\left(\frac{1}{2}ah\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2.S_1$; ...; $S_{\Delta A_n{B}_n{C}_n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}.S_1$; ...

Suy ra $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.S_1\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}ah\right)=0.\frac{1}{2}ah=0$.

b) +) Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$P_n=p_1+p_2+\mathrm{...}+p_n+\mathrm{...}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$.

+) Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = $\frac{1}{2}$ah và công bội q = $\frac{1}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

$S_n=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}=\frac{\frac{1}{2}ah}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}ah$.