Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Bất đẳng thức

Giải Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức

Luyện tập 1 trang 29 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $5\frac{1}{4}$ và $5,251$;

b. $\sqrt{5}$ và $\sqrt{\frac{26}{5}}$.

Lời giải:

a. Do $5\frac{1}{4}=5,25$ nên $5\frac{1}{4}<5,251$.

b. Ta có: ${\left(\sqrt{5}\right)}^2=5;{\left(\sqrt{\frac{26}{5}}\right)}^2=\frac{26}{5}$

Do $5<\frac{26}{5}$ nên $\sqrt{5}<\sqrt{\frac{26}{5}}$.

Hoạt động 1 trang 29 Toán 9 Tập 1: Viết hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b.

Lời giải:

Hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b là $a>b$.

Luyện tập 2 trang 30 Toán 9 Tập 1: Hãy viết hai bất đẳng thức cùng chiều.

Lời giải:

$25>\sqrt{3};\sqrt{7}>\sqrt{2}$

Hoạt động 2 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $15>14$. Hãy so sánh hiệu $15-14$ và 0.

Lời giải:

Ta có: $15-14=1>0$.

Luyện tập 3 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho $a\ge 2b$. Chứng minh:

a. $2a-1\ge a+2b-1$

b. $4b+4a\le 5a+2b$

Lời giải:

Do $a\ge 2b$ nên $a-2b\ge 0$ và $2b-a\le 0$.

a. Xét hiệu: $\left(2a-1\right)-\left(a+2b-1\right)=2a-1-a-2b+1=a-2b\ge 0$. Vậy $2a-1\ge a+2b-1$.

b. Xét hiệu: $\left(4b+4a\right)-\left(5a+2b\right)=4b+4a-5a-2b=2b-a\le 0$. Vậy $4b+4a\le 5a+2b$.

Hoạt động 3 trang 30 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $a>b$ và cho số thực c.

a. Xác định dấu của hiệu: $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)$.

b. Hãy so sánh: $a+c$ và $b+c$.

Lời giải:

a. Do $a>b$ nên $a-b>0$ và $b-a<0$

Ta có: $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=a+c-b-c=a-b>0$. Vậy $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)>0$.

b. Do $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)>0$ nên $a+c>b+c$.

Luyện tập 4 trang 31 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3}$;

b. ${\left(a-1\right)}^2\ge 4-2a$ với $a^2\ge 3$.

Lời giải:

a. Do $11>10$ nên $\sqrt{11}>\sqrt{10}$ suy ra $\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3}$.

Vậy $\sqrt{11}-\sqrt{3}>\sqrt{10}-\sqrt{3}$

b. Do $a^2\ge 3$ nên $a^2-3\ge 0$.

Xét hiệu ${\left(a-1\right)}^2-4+2a=a^2-2a+1-4+2a=a^2-3\ge 0$

Vậy ${\left(a-1\right)}^2\ge 4-2a$.

Hoạt động 4 trang 31 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $a>b$ và số thực $c>0$.

a. Xác định dấu của hiệu: $ac-bc$.

b. Hãy so sánh: $ac$ và $bc$.

Lời giải:

a. Do $a>b$ nên $a-b>0$.

Ta có: $ac-bc=\left(a-b\right)c$

Do $a-b>0,c>0$ nên $\left(a-b\right)c>0$

Vậy $ac-bc>0$.

b. Do $ac-bc>0$ nên $ac>bc$.

Luyện tập 5 trang 31 Toán 9 Tập 1: Cho $a\ge b$. Chứng minh: $5b-2\le 5a-2$.

Lời giải:

Do $a\ge b$ nên $5a\ge 5b$. Vậy $5a-2\ge 5b-2$ hay $5b-2\le 5a-2$.

Hoạt động 5 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho bất đẳng thức $a>b$ và số thực $c>0$.

a. Xác định dấu của hiệu: $ac-bc$.

b. Hãy so sánh: $ac$ và $bc$.

Lời giải:

a. Do $a>b$ nên $a-b>0$.

Ta có: $ac-bc=\left(a-b\right)c$

Do $a-b>0,c>0$ nên $\left(a-b\right)c>0$

Vậy $ac-bc>0$.

b. Do $ac-bc>0$ nên $ac>bc$.

Luyện tập 6 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho $a\le 1$. Chứng minh: ${\left(a-1\right)}^2\ge a^2-1$.

Lời giải:

Do $a\le 1$ nên $a-1\le 0$ và $1-a\ge 0$

Xét hiệu:${\left(a-1\right)}^2-a^2+1=a^2-2a+1-a^2+1=-2a+2=-2\left(a-1\right)\ge 0$

Vậy ${\left(a-1\right)}^2\ge a^2-1$.

Hoạt động 6 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho các bất đẳng thức $a>b$ và $b>c$.

a. Xác định dấu của hiệu: $a-b,b-c,a-c$.

b. Hãy so sánh: a và c.

Lời giải:

a. Do $a>b$ nên $a-b>0$

Do $b>c$ nên $b-c>0$.

Do $a>b$, $b>c$ nên $a>c$ hay $a-c>0$.

b. Do $a-c>0$ nên $a>c$.

Luyện tập 7 trang 32 Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn $a>b$ và $c>d$. Chứng minh: $ac>bd$.

Lời giải:

Do $a>b,c>0$ nên $ac>bc$(1)

Do $c>d,b>0$ nên $bc>bd$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $ac>bd$.

Bài 1 trang 33 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\sqrt{29}-\sqrt{6}>\sqrt{28}-\sqrt{6}$;

b. $26,2<2a+3,2<26,4$ với $11,5<a<11,6$

Lời giải:

a. Do $29>28$ nên $\sqrt{29}>\sqrt{28}$. Vậy $\sqrt{29}-\sqrt{6}>\sqrt{28}-\sqrt{6}$.

b. Do $11,5<a<11,6$ nên $23<2a<23,2$. Vậy $26,2<2a+3,2<26,4$.

Bài 2 trang 33 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}<a^2+\frac{4}{5}$ với $a\ne 0$;

b. $2m+4>2n+3$với $m>n$.

Lời giải:

a. Ta có: $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{4}{5}$

Mà $a^2>0$ nên $\frac{4}{5}<a^2+\frac{4}{5}$.

Vậy $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}<a^2+\frac{4}{5}$ với $a\ne 0$.

b. Ta có: $m>n$ nên $2m>2n$. Vậy $2m+3>2n+3$.

Mà $2m+4>2m+3$ nên $2m+4>2n+3$.

Vậy $2m+4>2n+3$ với $m>n$.

Bài 3 trang 34 Toán 9 Tập 1:

a. Cho $a>b>0$. Chứng minh: $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $\frac{2022}{2023}$ và $\frac{2023}{2024}$.

Lời giải:

a. Do $a>b$ nên $b-a<0$.

Do $a>b>0$ nên $ab>0$.

Xét hiệu $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$.

Do $\{\begin{array}{l}b-a<0\\ ab>0\end{array}$ nên $\frac{b-a}{ab}<0$.

Vậy $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

b. Ta có: $\frac{2022}{2023}=1-\frac{1}{2023};\frac{2023}{2024}=1-\frac{1}{2024}$

Theo kết quả vừa chứng minh ta có:

$2024>2023$ nên $\frac{1}{2023}>\frac{1}{2024}$ suy ra $-\frac{1}{2023}<-\frac{1}{2024}$ nên $1-\frac{1}{2023}<1-\frac{1}{2024}$.

Vậy $\frac{2022}{2023}<\frac{2023}{2024}$.

Bài 4 trang 34 Toán 9 Tập 1: Chứng minh: $x^2+y^2\ge 2xy$ với mọi số thực $x,y$.

Lời giải:

+ Xét hiệu $x^2+y^2-2xy={\left(x-y\right)}^2\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Vậy $x^2+y^2\ge 2xy$ với mọi số thực $x,y$.

Bài 5 trang 34 Toán 9 Tập 1: Nồng độ cồn trong máu (tiếng Anh là Blood Alcohol Content, viết tắt: BAC) được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm lượng rượu (ethyl alcohol hoặc ethanol) trong máu của một người. Chẳng hạn, nồng độ cồn trong máu là 0,05% nghĩa là có 50mg rượu trong 100ml máu. Càng uống nhiều rượu bia thì nồng độ cồn trong máu càng cao và càng nguy hiểm khi tham gia giao thông. Nghị định 100/2019/NĐ-CP quy định mức xử phạt vi phạm hành chính đối với người điều khiển xe gắn máy uống rượu bia khi tham gia giao thông như sau:

Giả sử nồng độ cồn trong máu của một người sau khi uống rượu bia được tính theo công thức sau: $y=0,076-0,008t$, trong đó y được tính theo đơn vị % và t là số giờ tính từ thời điểm uống rượu bia. Hỏi 3 giờ sau khi uống rượu bia, người này điều khiển xe gắn máy tham gia giao thông thì sẽ bị xử phạt ở mức độ nào?

Lời giải:

3 giờ sau khi uống rượu, bia nồng độ cồn trong máu của người đó là: $y=0,076-0,008.3=0,052\mathrm{\%}$

Do đó nồng độ cồn trong máu vượt quá 50mg/100ml máu và chưa vượt quá 80mg/100ml máu.

Vậy người này sẽ bị xử phạt ở mức độ 2.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 1 trang 26

Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2 trang 42