Toán 9 Bài 5 (Cánh diều): Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Giải Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Khởi động trang 118 Toán 9 Tập 1: Hình 65 mô tả một chiếc quạt giấy.

Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình gì và diện tích của hình đó được tính như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình quạt tròn (hình quạt), hình này là một phần hình tròn giới hạn bởi cung tròn AB và hai bán kính OA, OB.

Giả sử hình quạt tròn AOB, tâm O, bán kính R và cung tương ứng với hình quạt có số đo n°.

Diện tích của hình quạt đó là: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$ (đơn vị diện tích).

Hoạt động 1 trang 118 Toán 9 Tập 1: Lấy một vòng tròn không dãn có dạng hình tròn (Hình 66a), cắt vòng dây và kéo thẳng vòng dây đó để nhận được sợi dây như ở Hình 66b.

Đo chiều dài sợi dây đó.

Ta nói chiều dài sợi dây bằng chu vi của đường tròn.

Lời giải:

HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.

Luyện tập 1 trang 118 Toán 9 Tập 1: Tính chu vi của đường tròn bán kính 5 cm (theo đơn vị centimet và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Chu vi của đường tròn là: C = 2π.5 = 10π ≈ 31,4 (cm).

Hoạt động 2 trang 119 Toán 9 Tập 1:

a) Đánh dấu hai điểm A, B trên một vòng dây không dãn có dạng đường tròn (Hình 67a), cắt cung AB của vòng dây và kéo thẳng cung đó để nhận được sợi dây như ở Hình 67b.

Đo chiều dài sợi dây đó.

Ta nói chiều dài sợi dây bằng độ dài của cung tròn AB.

b) Ta coi mỗi đường tròn bán kính R là một cung tròn có số đo 360°. Chia đường tròn đó thành 360 phần bằng nhau, mỗi phần là cung tròn có số đo bằng 1°; chu vi của đường tròn khi đó cũng được chia thành 360 phần bằng nhau. Tính theo R:

⦁ Độ dài của cung có số đo 1°;

⦁ Độ dài của cung có số đo n°.

Lời giải:

a) HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.

b) Độ dài của cung tròn có số đo 360° chính là chu vi của đường tròn bán kính R và bằng 2πR.

Độ dài của cung có số đo 1° là: $\frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}.$

Độ dài của cung có số đo n° là $n\cdot \frac{\pi R}{180}=\frac{\pi Rn}{180}.$

Luyện tập 2 trang 119 Toán 9 Tập 1: Một con lắc di chuyển từ vị trí A đến vị trí B (Hình 69). Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng sợi dây OA có độ dài bằng l và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc α.

Lời giải:

Ta có $\widehat{AOB}=2\alpha$ là số đo của cung AB.

Độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển là: $\frac{\pi \cdot 1\cdot 2\alpha }{180}=\frac{\alpha \pi }{90}.$

Hoạt động 3 trang 119 Toán 9 Tập 1: Vẽ đường tròn (O; 2 cm) và các điểm A, B thỏa mãn OA < 2 cm, OB = 2 cm. Nêu nhận xét về vị trí các điểm A, B so với đường tròn (O; 2 cm).

Lời giải:

Ta có:

⦁ OA < 2 cm nên A nằm trong đường tròn (O; 2 cm);

⦁ OB = 2 cm nên B nằm trên đường tròn (O; 2 cm).

Hoạt động 4 trang 120 Toán 9 Tập 1: Quan sát Hình 71, hãy cho biết phần hình tròn (O) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính và cung nào?

Lời giải:

Phần hình tròn (O) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung AmB.

Luyện tập 3 trang 120 Toán 9 Tập 1: Cho hình quạt COD giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung CqD sao cho OC = CD (Hình 74). Hãy tìm số đo cung CqD ứng với hình quạt đó.

Lời giải:

Xét ∆OCD có OC = OD = CD nên ∆OCD là tam giác đều, do đó $\widehat{COD}=60°.$

Vì góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD nên $sđ\stackrel{⏜}{CD}=\widehat{COD}=60°.$

Do đó $sđ\stackrel{⏜}{CqD}=360°-sđ\stackrel{⏜}{CD}=360°-60°=300°.$

Hoạt động 5 trang 120 Toán 9 Tập 1: Ta coi mỗi hình tròn bán kính R là một hình quạt có số đo 360°. Tính diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R, biết số đo cung ứng với hình quạt tròn đó là:

a) 1°;

b) n° (Hình 75).

Lời giải:

a) Diện tích của hình tròn bán kính R là S = πR².

Cả đường tròn có số đo là 360° nên diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R cung số đo 1° là: $S=\frac{\pi R^2}{360}.$

b) Diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R cung số đo n° là: $S=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}.$

Luyện tập 4 trang 121 Toán 9 Tập 1: Hình quạt tô màu đỏ ở Hình 65 có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150°.

a) Tính diện tích của hình quạt đó.

b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.

Lời giải:

a) Diện tích hình quạt đó là: $S=\frac{\pi \cdot 2^2\cdot 150}{360}=\frac{5\pi }{3}{\text{(dm}}^2\text{).}$

b) Ta có $S=\frac{lR}{2},$ suy ra $l=\frac{2S}{R}=\frac{2\cdot \frac{5\pi }{3}}{2}=\frac{5\pi }{3}\text{(dm).}$

Vậy độ dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó là: $\frac{5\pi }{3}\text{(dm).}$

Hoạt động 6 trang 122 Toán 9 Tập 1:

a) Hình 80 mô tả một phần bản vẽ của chi tiết máy. Hình đó giới hạn bởi mấy đường tròn cùng tâm?

b) Hãy vẽ một hình tương tự Hình 80 bằng cách vẽ các đường tròn (O; 2 cm) và (O; 3 cm). Tính hiệu diện tích của hai hình tròn đó.

Lời giải:

a) Hình chi tiết máy được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm.

b)

Diện tích hình tròn tâm O bán kính 3 cm là: π.3² = 9π (cm²).

Diện tích hình tròn tâm O bán kính 2 cm là: π.2² = 4π (cm²).

Hiệu diện tích của hai hình tròn đó là: 9π – 4π = 5π (cm²).

Luyện tập 5 trang 122 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích của hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm.

Lời giải:

Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm O và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm được tô màu xanh như hình vẽ dưới đây:

Diện tích của hình vành khuyên tô màu xanh là: $S=\pi \left(2,5^2-2^2\right)=\frac{9\pi }{4}{\text{(cm}}^2\text{).}$

Bài tập

Bài 1 trang 122 Toán 9 Tập 1: Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.

a) Tính diện tích phần được tô màu mỗi hình đó.

b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.

Lời giải:

a) ⦁ Hình 83: Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 40° là:

$S=\frac{\pi \cdot 2^2\cdot 40}{360}=\frac{4}{9}\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

Vậy diện tích phần được tô màu là: $\frac{4}{9}\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

⦁ Hình 84: Diện tích hình tròn có bán kính 2 cm là S₁ = π.2² = 4π (cm²).

Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 72° là:

$S_2=\frac{\pi \cdot 2^2\cdot 72}{360}=\frac{4}{5}\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

Vậy diện tích phần được tô màu là: $S=S_1-S_2=4\pi -\frac{4}{5}\pi =\frac{16}{5}\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

⦁ Hình 85: Diện tích phần được tô màu chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm bán kính 24 cm và 6 cm, và bằng:

S = π.(24² – 6²) = 540π (cm²).

⦁ Hình 86: Đường tròn nhỏ bên trong có bán kính là 19 cm. Đường tròn to bên ngoài có bán kính là 2.19 = 38 cm.

Diện tích phần được tô màu chính là nửa diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính 38 cm và 19 cm, và bằng:

$S=\frac{1}{2}\pi \cdot \left({38}^2-{19}^2\right)=\frac{1083\pi }{2}{\text{(cm}}^2\text{).}$

b) Cách 1: Tính độ dài cung tròn theo công thức $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

⦁ Hình 83: Số đo cung tròn được tô màu xanh là: 360° – 40° = 320°.

Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: $l=\frac{\pi \cdot 2\cdot 320}{180}=\frac{32\pi }{9}\text{(cm)}.$

⦁ Hình 84: Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: $l=\frac{\pi \cdot 2\cdot 72}{180}=\frac{4\pi }{5}\text{(cm).}$

Cách 2: Tính độ dài cung tròn theo diện tích của cung đó.

Ta có $S=\frac{lR}{2},$ do đó $l=\frac{2S}{R}.$

⦁ Hình 83: Diện tích của hình tròn bán kính 2 cm là π.2² = 4π (cm²).

Diện tích của phần không tô màu là: $S^{\text{'}}=4\pi -\frac{4}{9}\pi =\frac{32}{9}\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: $l=\frac{2\cdot \frac{32}{9}\pi }{2}=\frac{32\pi }{9}\text{(cm)}.$

⦁ Hình 84: Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: $l=\frac{2\cdot \frac{4}{5}\pi }{2}=\frac{4}{5}\pi \text{(cm)}.$

Bài 2 trang 123 Toán 9 Tập 1: Hình87 mô tả mặt cắt của chiếc đèn led có dạng hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hai hình vành khuyên đó.

Lời giải:

Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S₁ = π(18² – 15²) = 99π (cm²).

Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là S₁ = π(24² – 21²) = 135π (cm²).

Bài 3 trang 123 Toán 9 Tập 1: Hình 88 mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa hình tròn đường kính 2 cm; hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm (Hình 88b); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.

Lời giải:

Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính 2 cm (bán kính 1 cm) chính là diện tích của một hình tròn bán kính 1 cm, và bằng: S₁ = π.1² = π (cm²).

Tổng diện tích hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm là: S₂ = 2.(2.8) = 32 (cm²).

Diện tích một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm là:

$S_3=\frac{1}{4}\cdot \pi \left(6^2-4^2\right)=5\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó là:

S = S₁ + S₂ + S₃ = π + 32 + 5π = 6π + 32 (cm²).

Bài 4 trang 123 Toán 9 Tập 1: Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE, ODE bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn OBC (Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.

a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30,48 cm, 1 in = 2,54 cm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?

Lời giải:

Đổi 3ft = 91,44 cm; 6 in = 15,24 cm.

a) Bán kính IQ là 91,44 + 15,24 = 106,68 (cm).

Diện tích của nêm cong MNPQ là:

S = π(106,68² – 15,24²) = 11148,3648π (cm²) ≈ 35 024 (cm²).

b) Diện tích nêm góc ABCD là:

$S_{nemgoc}=2S_{\Delta AOE}-S_{hqOBC}=2\cdot \frac{1}{2}OA\cdot AE-\frac{\pi \cdot O{B}^2\cdot sđ\stackrel{⏜}{BC}}{360}$

$=OA\cdot AE-\frac{\pi \cdot O{B}^2\cdot \widehat{BOC}}{360}=OA\cdot AE-\frac{\pi \cdot O{B}^2\cdot 2\widehat{AOE}}{360}.$

Xét ∆OAE vuông tại A, ta có: AE = OA.tan$\widehat{AOE}.$

Do đó $S_{nemgoc}=OA\cdot OA\cdot \tan \widehat{AOE}-\frac{\pi \cdot O{B}^2\cdot 2\widehat{AOE}}{360}$

$=O{A}^2\cdot \tan \widehat{AOE}-\frac{\pi \cdot O{B}^2\cdot 2\widehat{AOE}}{360}.$

Vậy để tính được diện tích của nêm góc ABCD, ta cần biết những kích thước: OB, OA và số đo góc AOE.