Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Hoạt động 2 trang 7 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình: $\frac{x+2}{x}=\frac{x-3}{x-2}\left(1\right)$.

Tìm điều kiện của $x$ để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.

Cho mẫu của cả hai phân thức rồi giải điều kiện.

Lời giải:

Để mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 2\end{array}$

Vậy $x\ne 0;x\ne 2$ thì mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

Luyện tập 3 trang 7 Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{x-8}{x-7}=8+\frac{1}{1-x}$.

Lời giải:

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{x-8}{x-7}=8+\frac{1}{1-x}$ là $x-7\ne 0$ và $1-x\ne 0$ hay $x\ne 7$ và $x\ne 1$.

Hoạt động 3 trang 8 Toán 9 Tập 1: Cho phương trình: $\frac{2x+1}{2x}=1-\frac{2}{x-3}\left(2\right)$

Hãy giả phương trình (2) theo các bước sau:

a. Tìm điều kiện xác định của phương trình (2).

b. Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức các phân thức ở hai vế của phương trình (2) và khử mẫu.

c. Giải phương trình vừa tìm được.

d. Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình (2) đối với các giá trị của ẩn vừa tìm được rồi kết luận.

Lời giải:

a. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2x+1}{2x}=1-\frac{2}{x-3}$ là $2x\ne 0$ và $x-3\ne 0$ hay $x\ne 0$ và $x\ne 3$.

b.

+ Mẫu thức chung của phương trình là: $2x\left(x-3\right)$.

+ Quy đồng mẫu thức: $\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)}{2x\left(x-3\right)}=\frac{2x\left(x-3\right)}{2x\left(x-3\right)}-\frac{4x}{2x\left(x-3\right)}$.

+ Khử mẫu: $\left(2x+1\right)\left(x-3\right)=2x\left(x-3\right)-4x$.

c. Giải phương trình: $\left(2x+1\right)\left(x-3\right)=2x\left(x-3\right)-4x$.

$\begin{array}{l}2x^2-6x+x-3=2x^2-6x-4x\\ \\ 2x^2-6x+x-3-2x^2+6x+4x=0\\ \\ 5x-3=0\end{array}$

$x=\frac{3}{5}$.

d. Ta thấy $x=\frac{3}{5}$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Luyện tập 4 trang 9 Toán 9 Tập 1: Giải phương trình: $\frac{x}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{2}{\left(2-x\right)\left(x-3\right)}$.

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x\ne 2$ và $x\ne 3$

$\frac{x}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{2}{\left(2-x\right)\left(x-3\right)}$

$\begin{array}{l}\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=-\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\ \frac{x^2-3x}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=-\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\ \\ x^2-3x+x-2=-2\\ \\ x^2-2x-2+2=0\\ \\ x^2-2x=0\end{array}$

$x\left(x-2\right)=0$.

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) $x=0$. *)$x-2=0$

$x=2$.

Ta thấy:

+ $x=0$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình;

+ $x=2$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$.

Luyện tập 5 trang 10 Toán 9 Tập 1: Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa $8100m^2$ mặt đường. Ở giai đoan đầu, đội trải được $3600m^2$ mặt đường. Ở giai đoạn hai đội công nhân tăng năng suất thêm $300m^2/$ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất lao động của đội không thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau.

Lời giải:

Gọi số ngày đội công nhân hoàn thành công việc là: x (ngày, x > 0).

Thời gian làm việc của đội ở mỗi giai đoạn là: $\frac{x}{2}$ (ngày).

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 1 là: $3600:\frac{x}{2}=7200x$ ($m^2$/ngày).

Giai đoạn 2 đội trải được: $8100-3600=4500\left(m^2\right)$

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 2 là: $4500:\frac{x}{2}=9000x$ ($m^2$/ngày).

Do giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm $300$ ($m^2$/ngày). Ta có phương trình:

$9000x-7200x=300$.

Giải phương trình: $9000x-7200x=300$

$1800x=300$

$x=\frac{1}{6}$ (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy đội công nhân hoàn thành công việc trong $\frac{1}{6}$ ngày.

Bài tập

Bài 1 trang 11 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình: