Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Với giải bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9 Bài 1.

1 1,624 04/08/2024


Giải Toán 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khởi động trang 74 Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn xBy^=α. Xét tam giác ABC vuông tại A, tam giác A’BC’ vuông tại A’ với A, A’ thuộc tia Bx và C, C’ thuộc tia By (Hình 1). Do ∆ABC ᔕ ∆A’BC’ nên ACBC=A'C'BC'.

Khởi động trang 74 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối AC của góc nhọn α và cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC không phụ thuộc vào việc chọn tam giác vuông đó.

Tỉ số ACBC có mối liên hệ như thế nào với độ lớn góc α?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có: ACBC = sinα.

Hoạt động 1 trang 74 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=α (Hình 2).

a) Cạnh góc vuông nào là cạnh đối của góc B?

b) Cạnh góc vuông nào là cạnh kề của góc B?

c) Cạnh nào là cạnh huyền?

Hoạt động 1 trang 74 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Trong tam giác ABC vuông tại A:

a) Cạnh góc vuông AC là cạnh đối của góc B.

b) Cạnh góc vuông AB là cạnh kề của góc B.

c) Cạnh BC là cạnh huyền.

Luyện tập 1 trang 77 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác MNP vuông tại M, MN = 3 cm, MP = 4 cm. Tính độ dài cạnh NP và các tỉ số lựợng giác của góc P.

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 77 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆MNP vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

NP2 = MN2 + MP2 = 32 + 42 = 25.

Suy ra NP = 5 (cm) (do NP > 0).

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác, ta có:

sinP = MNNP=35;cosP=MPNP=45;

tanP=MNMP=34;cotP=MPMN=43.

Hoạt động 2 trang 77 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 7).

Hoạt động 2 trang 77 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Tổng số đo của góc B và góc C bằng bao nhiêu?

b) Viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

c) Mỗi tỉ số lượng giác của góc B bằng tỉ số lượng giác nào góc C?

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: B^+C^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

b) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác, ta có:

sinB=ACBC;cosB=ABBC;tanB=ACAB;cotB=ABAC.

sinC=ABBC;cosC=ACBC;tanC=ABAC;cotC=ACAB.

c) Theo câu b, ta có: sinB = cosC; cosB = sinC; tanB = cotC; cotB = tanC.

Luyện tập 2 trang 78 Toán 9 Tập 1: Tính:

a) sin61° – cos29°;

b) cos15° – sin75°;

c) tan28° – cot62°;

d) cot47° – tan43°.

Lời giải:

a) Vì 61° và 29° là hai góc phụ nhau nên ta có:

sin61° – cos29° = sin61° – sin(90° – 29°) = sin61° – sin61° = 0.

b) Vì 15° và 75° là hai góc phụ nhau nên ta có:

cos15° – sin75° = cos15° – sin(90° – 15°) = cos15° – cos15° = 0.

c) Vì 28° và 62° là hai góc phụ nhau nên ta có:

tan28° – cot62° = tan28° – cot(90° – 28°) = tan28° – tan28° = 0.

d) Vì 47° và 43° là hai góc phụ nhau nên ta có:

cot47° – tan43° = cot47° – tan(90° – 47°) = cot47° – cot47° = 0.

Luyện tập 3 trang 78 Toán 9 Tập 1: Sử dụng bảng tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt, tính giá trị của biểu thức:

sin60° – cos60°.tan60°.

Lời giải:

Ta có: sin60° – cos60°.tan60° = 32123=3232 = 0.

Hoạt động 3 trang 79 Toán 9 Tập 1: Cùng với đơn vị đo góc là độ (kí hiệu: °), người ta còn sừ dụng những đơn vị đo góc khác là: phút (kí hiệu: ’), giây (kí hiệu: ”), với quy ước: 1° = 60’ ; 1’ = 60’’.

Ta có thể tính giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc nhọn bằng cách sử dụng các phím: Hoạt động 3 trang 79 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9 trên máy tính cầm tay. Trước hết, ta đưa máy tính về chế độ “độ”. Để nhập độ, phút giây, ta sử dụng phím Hoạt động 3 trang 79 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9.

Chẳng hạn, để tính sin35° và tan70°25’43’’, ta làm như sau:

Hoạt động 3 trang 79 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.

Hoạt động 4 trang 79 Toán 9 Tập 1: Sử dụng tính chất cotα = tan(90° – α), ta có thể tính được côtang của một góc nhọn. Chẳng hạn ta tính cot56° như sau:

Hoạt động 4 trang 79 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.

Luyện tập 4 trang 79 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) các giá trị lượng giác sau:

sin71°; cos48°; tan59°; cot23°.

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 79 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Bài tập

Bài 1 trang 81 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, BC = 6 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải:

Bài 1 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra AB2 = BC2 – AC2 = 62 – 42 = 20.

Do đó AB = 20=225=25cm.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

sinB=ACBC=46=23;cosB=ABBC=256=53;

tanB=ACAB=425=25=255;cotB=ABAC=254=52.

Bài 2 trang 81 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Lời giải:

Bài 2 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 22 + 32 = 13.

Suy ra BC = 13cm.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

sinC=ABBC=213; cosC=ACBC=313;

tanC=ABAC=23; cotC=ACAB=32.

Bài 3 trang 81 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M. Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc N.

Lời giải:

Bài 3 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Xét ∆MNP, ta có: NP2 = 132 = 169 và MN2 + MP2 = 52 + 122 = 169.

Suy ra NP2 = MN2 + MP2.

Do đó ∆MNP vuông tại M (định lí Pythagore đảo).

Khi đó:

sinN=MPNP=1213; cosN=MNNP=513;

tanN=MPMN=125; cotN=MNMP=512.

Bài 4 trang 81 Toán 9 Tập 1: Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc 63°? Vì sao?

a) sin27°;

b) cos27°;

c) tan27°;

d) cot27°.

Lời giải:

Vì 27° và 63° là hai góc phụ nhau nên ta có:

a) sin27° = cos63°;

b) cos27° = sin63°;

c) tan27° = cot63°;

d) cot27° = tan63°.

Bài 5 trang 81 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) 41°;

b) 28°35’;

c) 70°27’46’’.

Lời giải:

Bài 5 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

b)

Bài 5 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

c)

Bài 5 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Bài 6 trang 81 Toán 9 Tập 1: Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giác trị biểu thức:

A = sin25° + cos25° – sin65° – cos65°.

Lời giải:

Vì25° và 65° là hai góc phụ nhau nên ta có sin25° = cos65° và sin65° = cos25°.

Do đó:

A = sin25° + cos25° – sin65° – cos65°

= cos65° + cos25° – cos25° – cos65°

= 0.

Bài 7 trang 81 Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A sao cho B^=α.

a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn α theo AB, BC, CA.

b) Chứng minh:

sin2α+cos2α=1;tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα;tanαcotα=1.

Từ đó, tính giá trị biểu thức: S = sin235° + cos235°; T = tan61°.cot61°.

Lời giải:

Bài 7 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

sinα = sinB = ACBC; cosα = cosB = ABBC;

tanα = tanB = ACAB; cotα = cotB = ABAC.

b) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

⦁ BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pythagore);

sin2α+cos2α=ACBC2+ABBC2=AC2+AB2BC2=BC2BC2=1;

sinαcosα=ACBCABBC=ACAB=tanα;

cosαsinα=ABBCACBC=ABAC=cotα;

⦁ cotα.tanα = ABACACAB = 1.

Ta có: S = sin235° + cos235° = 1; T = tan61°.cot61° = 1.

Bài 8 trang 81 Toán 9 Tập 1: Hình 10 mô tả tia nắng mặt trời dọc theo AB tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc α=ABH^. Sử dụng máy tính cầm tay, tính số đo góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) biết AH = 2 m, BH = 5 m.

Bài 8 trang 81 Toán 9 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có tanα = tanB = AHBH = 25.

Suy ra α ≈ 22°.

1 1,624 04/08/2024