Giải Toán 9 Bài 3 (Cánh diều): Định lí Viète

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

Khởi động trang 61 Toán 9 Tập 2: Đà Lạt là thành phố du lịch, có khí hậu mát mẻ. Nơi đây trồng nhiều loại hoa để phục vụ nhu cầu trong nước và xuất khẩu. Giả sử người ta trồng hoa trên một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với diện tích là 240 m², chu vi là 68 m

Làm thế nào để xác định được chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn trồng hoa nói trên?

Lời giải:

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x₁; x­₂ (m) (x₁ > 0, x­₂ > 0).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, mảnh vườn dạng hình chữ nhật có chu vi là 68 m nên nửa chu vi của mảnh vườn là 68 : 2 = 34 (m), do đó x₁ + x­₂ = 34.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 240 m², do đó x₁x₂ = 240.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 34x + 240 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –34, c = 240.

Do b = –34 nên b’ = –17.

Ta có: ∆’ = (–17)² – 1.240 = 49 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-17\right)+\sqrt{49}}{1}=17+7=24;$$x_2=\frac{-\left(-17\right)-\sqrt{49}}{1}=17-7=10.$

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0.

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 24 (m) và 10 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

I. Định lí Viète

Hoạt động 1 trang 61 Toán 9 Tập 2: Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử phương trình đó có hai nghiệm là x₁, x₂. Tính x₁ + x₂; x₁x₂ theo các hệ số a, b, c.

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},$$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$

Như vậy, với ∆ ≥ 0 thì phương trình có hai nghiệm dạng:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},$$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Ta có:

Luyện tập 1 trang 62 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình

– 4x² + 9x + 1 = 0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Tính x₁ + x₂ ; x₁x₂.

c) Tính $x_1^2+x_2^2.$

Lời giải:

a) Phương trình có các hệ số a = –4, b = 9, c = 1,

∆ = 9² – 4.(–4).1 = 97 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{9}{-4}=\frac{9}{4}$ và $x_1{x}_2=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}.$

c) Ta có: $x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(\frac{9}{4}\right)}^2-2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{81}{16}+\frac{1}{2}=\frac{89}{16}.$

Luyện tập 2 trang 63 Toán 9 Tập 2: Không tính ∆, giải phương trình 4x² – 7x + 3 = 0

Lời giải:

Phương trình có các hệ số a = 4, b = –7, c = 3.

Ta thấy a + b + c = 4 + (–7) + 3 = 0.

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1 và $x_2=\frac{3}{4}.$

Luyện tập 3 trang 63 Toán 9 Tập 2: Không tính ∆, giải phương trình 2x² – 9x – 11 = 0.

Lời giải:

Phương trình có các hệ số a = 2, b = –9, c = –11.

Ta thấy a – b + c = 2 – (–9) + (–11) = 0.

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = –1 và $x_2=-\frac{-11}{2}=\frac{11}{2}.$

II. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Hoạt động 2 trang 63 Toán 9 Tập 2: Cho hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6.

a) Gọi một số là x. Tính số còn lại theo x.

b) Lập phương trình bậc hai ẩn x.

Lời giải:

a) Vì hai số có tổng bằng 6 nên số còn lại là 5 – x.

b) Vì hai số có tích bằng 6 nên ta có:

x(5 – x) = 6

5x – x² = 6

x² – 5x + 6 = 0.

Vậy phương trình bậc hai ẩn x cần tìm là x² – 5x + 6 = 0.

Luyện tập 4 trang 64 Toán 9 Tập 2: Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x₁; x­₂ (m) (x₁ > 0, x­₂ > 0).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, mảnh vườn dạng hình chữ nhật có chu vi là 68 m nên nửa chu vi của mảnh vườn là 68 : 2 = 34 (m), do đó x₁ + x­₂ = 34.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 240 m², do đó x₁x₂ = 240.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 34x + 240 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –34, c = 240.

Do b = –34 nên b’ = –17.

Ta có: ∆’ = (–17)² – 1.240 = 49 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-17\right)+\sqrt{49}}{1}=17+7=24;$$x_2=\frac{-\left(-17\right)-\sqrt{49}}{1}=17-7=10.$

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0.

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 24 (m) và 10 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Bài tập

Bài 1 trang 64 Toán 9 Tập 2: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) thì

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a};x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Bài 2 trang 64 Toán 9 Tập 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là $x_2=\frac{c}{a}.$

b) Nếu phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1 và nghiệm còn lại là $x_2=\frac{c}{a}.$

c) Nếu phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1 và nghiệm còn lại là $x_2=-\frac{c}{a}.$

d) Nếu phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Lời giải:

Ta có:

⦁ Nếu phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là $x_2=\frac{c}{a}.$

⦁ Nếu phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1 và nghiệm còn lại là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Vậy các phát biểu đúng là: a), c) và các phát biểu sai là: b), d).

Bài 3 trang 64 Toán 9 Tập 2: Giải thích vì sao nếu ac < 0 thì phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm là hai số trái dấu nhau.

Lời giải:

Xét phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có ac < 0, theo kết quả của Bài 2, trang 59, SGK Toán lớp 9, Tập 2 thì phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó, theo định lí Viète, ta có: $x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Mà ac < 0 nên a và c là hai số trái dấu.

Lại có a ≠ 0 nên ta suy ra được $\frac{c}{a}<0,$ hay x₁x₂ < 0.

Do đó x₁, x₂ là hai số trái dấu nhau.

Vậy nếu ac < 0 thì phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm là hai số trái dấu nhau.

Bài 4 trang 64 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 2x² – 3x – 6 = 0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Tính x₁ + x₂; x₁x₂. Chứng minh cả hai nghiệm x₁, x₂ đều khác 0.

c) Tính $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}.$

d) Tính $x_1^2+x_2^2.$

e) Tính |x₁ – x₂|.

Lời giải:

Xét phương trình: 2x² – 3x – 6 = 0.

a) Phương trình có các hệ số a = 2, b = –3, c = –6.

Cách 1: Ta có: ∆ = (–3)² – 4.2.(–6) = 57 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Cách 2: Ta có: ac = 2.(–6) = –12 < 0 nên theo kết quả của Bài 2, trang 59, SGK Toán lớp 9, Tập 2 thì phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Theo định lí Viète ta có:

$x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$ và $x_1{x}_2=\frac{-6}{2}=-3.$

Vì x₁x₂ = –3 ≠ 0 nên x₁ ≠ 0 và x₂ ≠ 0.

c) Ta có $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-3}=\frac{-1}{2}.$

d) Ta có $x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)=\frac{9}{4}+6=\frac{33}{4}.$

e) Ta có: ${\left(x_1-x_2\right)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1{x}_2$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)=\frac{9}{4}+12=\frac{57}{4}.$

Mà $\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2}=\left|x_1-x_2\right|$ nên ta có:

$\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\frac{57}{4}}=\frac{\sqrt{57}}{2}.$

Bài 5 trang 65 Toán 9 Tập 2: Không tính ∆, giải các phương trình:

a) 3x² – x – 2 = 0;

b) –4x² + x + 5 = 0;

c) $2\sqrt{3}{x}^2+\left(5-2\sqrt{3}\right)x-5=0;$

d) $-3\sqrt{2}{x}^2+\left(4-3\sqrt{2}\right)x+4=0.$

Lời giải:

a) 3x² – x – 2 = 0

Phương trình có các hệ số a = 3, b = –1, c = –2.

Ta thấy: a + b + c = 3 + (–1) + (–2) = 0.

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1 và $x_2=\frac{-2}{3}.$

b) –4x² + x + 5 = 0

Phương trình có các hệ số a = –4, b = 1, c = 5.

Ta thấy: a – b + c = (–4) – 1 + 5 = 0.

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = –1 và $x_2=\frac{-5}{2\sqrt{3}}=\frac{-5\sqrt{3}}{6}.$

c) $2\sqrt{3}{x}^2+\left(5-2\sqrt{3}\right)x-5=0$

Phương trình có các hệ số $a=2\sqrt{3},b=5-2\sqrt{3},c=-5.$

Ta thấy: $a+b+c=2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3}+\left(-5\right)=0.$

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1 và $x_2=\frac{-5}{2\sqrt{3}}=\frac{-5\sqrt{3}}{6}.$

d) $-3\sqrt{2}{x}^2+\left(4-3\sqrt{2}\right)x+4=0$

Phương trình có các hệ số $a=-3\sqrt{2},b=4-3\sqrt{2},c=4.$

Ta thấy: $a-b+c=-3\sqrt{2}-\left(4-3\sqrt{2}\right)+4=0.$

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = –1 và $x_2=\frac{-4}{-3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Bài 6 trang 65 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số trong mỗi trường hợp sau:

a) Tổng của chúng bằng 7 và tích của chúng bằng 12;

b) Tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng –6.

Lời giải:

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² – 7x + 12 = 0.

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –7, c = 12,

∆ = (–7)² – 4.1.12 = 1 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

$x_1=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=4;$$x_2=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=3.$

Vậy hai số cần tìm là 4 và 3.

b) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² – x – 6 = 0.

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –1, c = –6,

∆ = (–1)² – 4.1.(–6) = 25 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=3;$$x_2=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=-2.$

Vậy hai số cần tìm là 3 và –2.

Bài 7 trang 65 Toán 9 Tập 2: Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m² và chu vi bằng 6,4 m. Tìm các kích thước của cửa sổ đó.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của cửa sổ hình chữ nhật là x₁; x­₂ (m) (x₁ > 0, x­₂ > 0).

Ta có nửa chu vi và diện tích cửa sổ hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, cửa sổ dạng hình chữ nhật có chu vi là 6,4 m nên nửa chu vi của cửa sổ là 6,4 : 2 = 3,2 (m), do đó x₁ + x­₂ = 3,2.

Diện tích cửa sổ hình chữ nhật là 2,52 m², do đó x₁x₂ = 2,52.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 3,2x + 2,52 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –3,2, c = 2,52.

Do b = –3,2 nên b’ = –1,6.

Ta có: ∆’ = (–1,6)² – 1.2,52 = 0,04 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1,6\right)+\sqrt{0,04}}{1}=1,6+0,2=1,8;$$x_2=\frac{-\left(-1,6\right)-\sqrt{0,04}}{1}=1,6-0,2=1,4.$

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0.

Vậy chiều dài và chiều rộng của cửa sổ đó lần lượt là 1,8 (m) và 1,4 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 2: Mật độ dân số

Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập cuối chương 8