Giải Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Phép quay

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Phép quay

Khởi động trang 86 Toán 9 Tập 2: Bạn Ánh cắt một miếng bìa có dạng hình tròn tâm O, ghim miếng bìa đó lên bảng tại tâm O và gắn một đầu của chiếc kim vào tâm O của hình tròn (Hình 23).

Giả sử chiếc kim đi qua điểm A thuộc đường tròn (O). Bạn Ánh quay chiếc kim quanh điểm O, theo chiều kim đồng hồ, sao cho chiếc kim đi qua điểm B thuộc đường tròn (O) với cung AmB có số đo 60°.

Phép quay như trên biến một điểm M khác điểm O thành điểm nào?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Phép quay như trên biến một điểm M khác điểm O thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MM’ có số đo 60°.

I. Khái niệm

Hoạt động 1 trang 86 Toán 9 Tập 2: Cho điểm O cố định.

a) Xét điểm M tuỳ ý (khác điểm O) và đường tròn tâm O bán kính OM. Hãy tìm điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho chiều quay từ tia OM đến tia OM’ cùng chiều quay của kim đồng hồ và cung MnM’ có số đo 120°.

b) Xét điểm N tuỳ ý (khác điểm O) và đường tròn tâm O bán kính ON. Hãy tìm điểm N’ thuộc đường tròn (O; ON) sao cho chiều quay từ tia ON đến tia ON’ ngược chiều quay của kim đồng hồ và cung NpN’ có số đo 300°.

Lời giải:

a) ⦁ Vẽ đường tròn (O; OM).

⦁ Lấy điểm M’ thuộc (O; OM) sao cho chiều quay từ tia OM đến tia OM’ cùng chiều quay của kim đồng hồ. Xét đường tròn (O; ON) có $\widehat{MO{M}^{\text{'}}}$ là góc ở tâm chắn cung MnM’ nên $sđ\stackrel{⏜}{MnM’}=\widehat{MO{M}^{\text{'}}}=120°$ (Hình a).

b) ⦁ Vẽ đường tròn (O; ON).

⦁ Lấy điểm N’ thuộc (O; ON) sao cho chiều quay từ tia ON đến tia ON’ ngược chiều quay của kim đồng hồ. Xét đường tròn (O; ON) có $\widehat{NO{N}^{\text{'}}}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ NN’, mà $sđ\stackrel{⏜}{Np{N}^{\text{'}}}=300°$ nên $\widehat{NO{N}^{\text{'}}}=sđ\stackrel{⏜}{N{N}^{\text{'}}}=360°-sđ\stackrel{⏜}{Np{N}^{\text{'}}}=360°-300°=60°$ (Hình b).

Luyện tập trang 87 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD tâm O. Chỉ ra phép quay thuận chiều tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm A, B, C, D thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.

Lời giải:

Điểm đối xứng của mỗi điểm A, B, C, D qua tâm O lần lượt là C, D, A, B.

Khi đó, phép quay thuận chiều 180° tâm O sẽ biến mỗi điểm A, B, C, D thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.

II. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

Hoạt động 2 trang 87 Toán 9 Tập 2: Cắt một miếng bìa có dạng hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ với tâm O và ghim miếng bìa đó lên bảng tại điểm O (Hình 27).

a) Quay miếng bìa đó theo phép quay thuận chiều 60° tâm O (Hình 28a). Hãy cho biết qua phép quay trên:

– Các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt quay đến vị trí mới là các điểm nào.

– Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới có trùng với chính nó hay không.

b) Quay miếng bìa đó theo phép quay ngược chiều 60° tâm O (Hình 28b). Hãy cho biết qua phép quay trên:

– Các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt quay đến vị trí mới là các điểm nào.

– Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới có trùng với chính nó hay không?

Lời giải:

a) Phép quay thuận chiều 60° tâm O biến các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt thành các điểm A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₁.

Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới trùng với chính nó.

b) Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt thành các điểm A₆, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅.

Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới trùng với chính nó.

Bài tập

Bài 1 trang 89 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có tâm O (Hình 30).

Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D thì các điểm B, C, D tương ứng biến thành các điểm nào?

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD, AC ⊥ BD tại O và O là trung điểm của AC, BD.

Do đó OA = OB = OC = OD và $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOA}=90°.$

Ta có góc được tạo bởi khi quay tia OA đến tia OD thuận chiều quay của kim đồng hồ là: $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}=90°+90°+90°=270°.$

Như vậy, phép quay thuận chiều 270° tâm O biến điểm A thành điểm D, biến các điểm B, C, D tương ứng thành các điểm A, B, C.

Bài 2 trang 89 Toán 9 Tập 2: Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O (Hình 31).

a) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm E thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

Lời giải:

a) Vì ngũ giác đều ABCDE có tâm O nên OA = OB = OC = OD = OE.

Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Xét ∆OAB và ∆OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có

∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOA.

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOA}.$

Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOA}=360°$

Do đó $5\widehat{AOB}=360°$

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOA}=\frac{360°}{5}=72°.$

Như vậy, phép quay ngược chiều 72° tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A thành điểm E thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OE, điểm A tạo nên cung AE có số đo 72°.

Khi đó, phép quay ngược chiều 72° tâm O biến các điểm B, C, D, E tương ứng thành các điểm A, B, C, D.

b) Các phép quay giữ nguyên hình ngũ giác đều ABCDE là:

⦁ Năm phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 72°; 144°; 216°; 288°; 360°.

⦁ Năm phép quay ngược chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 72°; 144°; 216°; 288°; 360°.

Bài 3 trang 89 Toán 9 Tập 2: Cho hình đa giác đều có 8 cạnh ABCDEGHK với tâm O (Hình 32).

Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình đa giác đều đã cho.

Lời giải:

Hình đa giác đều ABCDEGHK có 8 cạnh nên ta có các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị sau đây thì giữ nguyên đa giác đều đó:

Bài 4 trang 89 Toán 9 Tập 2: Vẽ trên giấy 18 hình tam giác đều bằng nhau và ở vị trí như Hình 33 (còn gọi là hình chong chóng).

a) Hãy đánh dấu 6 điểm mút của hình chong chóng sao cho 6 điểm mút đó là các đỉnh của một hình lục giác đều tâm O.

b) Hãy chỉ ra những phép quay tâm O giữ nguyên hình chong chóng.

Lời giải:

a)

b) Ta thấy rằng những phép quay tâm O giữ nguyên hình chong chóng chính là những phép quay tâm O giữ nguyên hình lục giác đều ABCDEG. Đó là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị sau đây:

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Hình trụ

Bài 2: Hình nón

Bài 3: Hình cầu

Bài tập cuối chương 10