Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Giải Toán 9 Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Khởi động trang 93 Toán 9 Tập 1: Mỗi bánh xe đạp ở Hình 1 gợi nên hình ảnh của một đường tròn.

Hai đường tròn đó có điểm chung hay không?

Lời giải:

Hai đường tròn mô tả hai bánh xe đạp không có điểm chung.

Hoạt động 1 trang 93 Toán 9 Tập 1: Đồng hồ được mô tả ở Hình 2 có kim phút dài 12 cm. Khi kim phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên đường gì?

Lời giải:

Khi kim phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên đường tròn.

Luyện tập 1 trang 94 Toán 9 Tập 1: Hãy chỉ ra một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn.

Lời giải:

Một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn là bánh xe, biển báo giao thông, bàn ăn hình tròn, gương trang điểm hình tròn, …

Hoạt động 2 trang 94 Toán 9 Tập 1: Quan sát Hình 5.

a) So sánh MN và OM + ON.

b) So sánh MN và AB.

Lời giải:

a) Xét ∆OMN ta có MN < OM + ON (1) (Bất đẳng thức tam giác).

b) Vì A, M, N, B cùng thuộc đường tròn (O) nên OA = OM = ON = OB.

Ta có: OM + ON = OA + OB.

Lại có AB = OA + OB, do đó OM + ON < AB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN < AB.

Luyện tập 2 trang 95 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN < BC.

Lời giải:

Nối OM, ON.

Xét ∆OMN, ta có: MN < OM + ON (Bất đẳng thức tam giác). (1)

Vì B, M, N, C cùng thuộc đường tròn (O) nên OA = OM = ON = OB.

Ta có: OM + ON = OB + OC.

Lại có BC là đường kính của đường tròn (O) nên BC = OB + OC.

Do đó OM + ON < BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN < AB.

Hoạt động 3 trang 95 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R).

a) Vẽ đường thẳng d đi qua tâm O cắt đường tròn tại A, B. So sánh OA và OB (Hình 7).

b) Giả sử M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia OM, ta lấy điểm N sao cho ON = OM. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Lời giải:

a) Ta thấy A và B cùng thuộc đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

b) Vì M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R.

Mà OM = ON nên OM = ON = R, suy ra N thuộc đường tròn (O; R).

Hoạt động 4 trang 95 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R). Giả sử d là đường thẳng đi qua tâm O, M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Kẻ MH vuông góc với d tại H. Trên tia MH lấy điểm N sao cho H là trung điểm của MN (ta gọi điểm N là điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng d). Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Lời giải:

Nối OM, ON.

Xét ∆OMH (vuông tại H)và ∆ONH (vuông tại H) ta có:

MH = NH (do H là trung điểm của MN);

OH là cạnh chung.

Do đó ∆OMH = ∆ONH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Mà M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R nên ON = R, do đó N thuộc đường tròn (O; R).

Luyện tập 3 trang 96 Toán 9 Tập 1: Bạn Hoa có một tờ giấy hình tròn. Nêu cách gấp giấy để xác định tâm của hình đó.

Lời giải:

Để xác định tâm của hình đó ta làm theo ba bước sau:

Bước 1. Gấp đôi tờ giấy sao cho hai mép của tờ giấy trùng khít lên nhau ta được hình nửa đường tròn.

Bước 2. Tiếp tục gấp đôi tờ giấy hình nửa đường tròn đó sao cho mép của tờ giấy trùng khít lên nhau.

Bước 3. Mở tờ giấy ra ta thấy xuất hiện giao của hai đường kính, đó chính là tâm hình tròn cần tìm.

Hoạt động 5 trang 96 Toán 9 Tập 1: Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải:

Hai đường tròn cắt nhau thì có 2 điểm chung.

Luyện tập 4 trang 97 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 14 cm), (O’; 5 cm) với OO’ = 8 cm. Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không?

Lời giải:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là R = 14 cm và r = 5 cm.

Do R – r = 14 – 5 = 9 (cm); R + r = 14 + 5 = 19 (cm)

Và 8 < 9 < 19 nên OO’ < R – r < R + r.

Vậy hai đường tròn (O; 14 cm) và (O’; 5 cm) không cắt nhau.

Hoạt động 6 trang 97 Toán 9 Tập 1: Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có 1 điểm chung.

Luyện tập 5 trang 98 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O’; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO’, biết hai đường tròn đó tiếp xúc trong.

Lời giải:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là r = 2,5 cm và R = 4,5 cm.

Để hai đường tròn đó tiếp xúc trong thì OO’ = R – r = 4,5 – 2,5 = 2 (cm).

Vậy OO’ = 2 cm thì hai đường tròn đó tiếp xúc trong.

Hoạt động 7 trang 98 Toán 9 Tập 1: Hình 14 mô tả hai bánh xe rời nhau, gợi nên hình ảnh hai đường tròn không giao nhau. Theo em, hai đường tròn không giao nhau thì có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải:

Hai đường tròn không giao nhau thì chúng không có điểm chung.

Luyện tập 6 trang 99 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (O’; 6,5 cm). Biết rằng OO’ = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.

Lời giải:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt là R = 11,5 cm và r = 6,5 cm.

Do R – r = 11,5 – 6,5 = 5 (cm) và 4 < 5 nên OO’ < R – r.

Vậy đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (O’; 6,5 cm).

Bài tập

Bài 1 trang 99 Toán 9 Tập 1: Trong Hình 16, có ba đường tròn với các đường kính lần lượt là AB, AC, CD. Hãy sắp xếp độ dài ba đoạn thẳng AB, AC, CD theo thứ tự tăng dần và giải thích kết quả tìm được.

Lời giải:

Xét đường tròn đường kính AC, có dây cung CD, do đó CD < AC (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

Xét đường tròn đường kính AB, có dây cung AC, do đó AC < AB (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

Do đó CD < AC < AB.

Bài 2 trang 100 Toán 9 Tập 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi hình 17a, 17b, 17c, 17d:

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung;

⦁ OO’ > R + R’.

Do đó hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.

b) Ta có:

⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có 1 điểm chung duy nhất;

⦁ OO’ = R + R’.

Do đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài.

c) Ta có:

⦁ Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung;

⦁ OO’ < R’ – R.

Do đó đường tròn (O’) đựng đường tròn (O).

d) Ta thấy hai đường tròn (O) và (O’) có 2 điểm chung nên hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau.

Bài 3 trang 100 Toán 9 Tập 1: Cho đoạn thẳng MN và đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Điểm O thuộc đường thẳng a.

a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.

b) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O; R).

Lời giải:

a) Hình vẽ:

b) Vì O nằm đường trung trực của đoạn thẳng MN nên OM = ON.

Mà OM = R (câu a) nên ON = R.

Vậy N thuộc đường tròn (O; R).

Bài 4 trang 100 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R. Tính số đo góc AOB.

Lời giải:

Vì AB là dây cung của đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

Mà AB = R nên OA = OB = AB = R.

Xét ∆OAB có OA = OB = AB = R nên ∆OAB là tam giác đều, suy ra$\widehat{AOB}=60°.$

Bài 5 trang 100 Toán 9 Tập 1: Chiếc đồng hồ trang trí ở Hình 18 gợi nên vị trí tương đối của các đường tròn.

Quan sát Hình 18 và chỉ ra một cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Tiếp xúc ngoài;

c) Tiếp xúc trong;

d) Không giao nhau.

Lời giải:

a) Một cặp đường tròn cắt nhau: Đường tròn màu đỏ và đường tròn màu vàng (khung đồng hồ).

b) Một cặp đường tròn tiếp xúc ngoài: Đường tròn màu xanh lá và đường tròn màu cam.

c) Một cặp đường tròn tiếp xúc trong: Đường tròn màu xanh cổ vịt (mặt đồng hồ) và đường tròn màu vàng (khung đồng hồ).

d) Một cặp đường tròn không giao nhau: Đường tròn màu vàng và đường tròn màu tím (quả lắc).

Bài 6 trang 100 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và dây AB khác đường kính. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Đường thẳng OM có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB, biết R = 5 cm, AB = 8 cm.

Lời giải:

a) Vì AB là dây cung của đường kính (O; R) nên ta có OA = OB = R.

Khi đó, O nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có M là trung điểm của AB nên M cũng nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Vì M là trung điểm của AB nên ta có MA = MB = $\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}$ = 4 (cm).

Vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OM ⊥ AB hay ∆OAM vuông tại M.

Theo định lí Pythagore ta có: OA² = OM² + AM²

Suy ra OM² = OA² – AM² = 5² – 4² = 9.

Do đó OM = 3 cm.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 3 cm.

Bài 7 trang 100 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn cùng tâm (O; R), (O; r) với R > r. Các điểm A, B thuộc đường tròn (O; R), các điểm A’ B’ thuộc đường tròn (O; r) sao cho O, A, A’ thẳng hàng; O, B, B’ thẳng hàng và điểm O không thuộc đường thẳng AB. Chứng minh:

a) $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=\frac{O{B}^{\text{'}}}{OB};$

b) AB // A’B’.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=\frac{r}{R};\frac{O{B}^{\text{'}}}{OB}=\frac{r}{R},$ suy ra $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=\frac{O{B}^{\text{'}}}{OB}.$

b) Xét ∆OAB có $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=\frac{O{B}^{\text{'}}}{OB}$ nên AB // A’B’ (theo định lí Thalès đảo).