Toán 9 Bài 4 (Cánh diều): Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Khởi động trang 67 Toán 9 Tập 1: Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất $p_1^{}$ và thể tích $V_1^{}$ đến áp suất $p_2^{}$ và thể tích $V_2^{}$ thỏa mãn đẳng thức: $\frac{p_1^{}}{p_2^{}}={\left(\frac{V_1^{}}{V_2^{}}\right)}_{}^2$. Có thể tính được thể tích $V_1^{}$ theo $p_1^{},p_2^{}$ và $V_2^{}$ được hay không?

Lời giải:

Có thể tính được thể tích $V_1^{}$ theo $p_1^{},p_2^{}$ và $V_2^{}$.

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Tìm số thích hợp cho “?”:

a. $\sqrt{7_{}^2}=?$;

b. $\sqrt{{\left(-9\right)}_{}^2}=?$;

c. $\sqrt{a_{}^2}=?$ với a là một số cho trước.

Lời giải:

a. $\sqrt{7_{}^2}=\left|7\right|=7$;

b. $\sqrt{{\left(-9\right)}_{}^2}=\left|-9\right|=9$;

c. $\sqrt{a_{}^2}=\left|a\right|$.

Luyện tập 1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{x_{}^2+6x+9}$ với $x<-3$;

b. $\sqrt{y_{}^4+2y_{}^2+1}$.

Lời giải:

a. $\sqrt{x_{}^2+6x+9}=\sqrt{{\left(x+3\right)}_{}^2}=\left|x+3\right|=-x-3$ (vì $x+3<0$ khi $x<-3$).

b. $\sqrt{y_{}^4+2y_{}^2+1}=\sqrt{{\left(y_{}^2+1\right)}_{}^2}=\left|y_{}^2+1\right|=y_{}^2+1$ (vì $y_{}^2+1>0$ với mọi số thực y).

Hoạt động 2 trang 68 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $\sqrt{16.0,25}$ và $\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$;

b. $\sqrt{a.b}$ và $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với a, b là hai số không âm.

Lời giải:

a. $\sqrt{16.0,25}=\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$.

b. $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

Luyện tập 2 trang 68 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{9x_{}^4}$;

b. $\sqrt{3a_{}^3}.\sqrt{27a}$ với $a>0$.

Lời giải:

a. $\sqrt{9x_{}^4}=\sqrt{9}.\sqrt{x_{}^4}=3.\left|x_{}^2\right|=3x_{}^2$.

b. $\sqrt{3a_{}^3}.\sqrt{27a}=\sqrt{3a_{}^3.27a}=\sqrt{81a_{}^4}=\sqrt{81}.\sqrt{a_{}^4}=3.\left|a_{}^2\right|=3a_{}^2$.

Hoạt động 3 trang 68 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $\sqrt{\frac{49}{169}}$ và $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$;

b. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ và $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với a là số không âm, b là số dương.

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{49}{169}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$.

b. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Luyện tập 3 trang 69 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}_{}^2}}$ với $x>3$;

b. $\frac{\sqrt{48x_{}^3}}{\sqrt{3x_{}^5}}$ với $x>0$.

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{3}{\left|x-3\right|}=\frac{3}{x-3}$ (vì $x>3$ nên $x-3>0$).

b. $\frac{\sqrt{48x_{}^3}}{\sqrt{3x_{}^5}}=\sqrt{\frac{48x_{}^3}{3x_{}^5}}=\sqrt{\frac{16}{x_{}^2}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x_{}^2}}=\frac{4}{\left|x\right|}=\frac{4}{x}$ (vì $x>0$).

Hoạt động 4 trang 69 Toán 9 Tập 1: Xét phép biến đổi: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}_{}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{\sqrt{3}};\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:

+ Mẫu thức của phân số $\frac{5}{\sqrt{3}}$ là $\sqrt{3}$.

+ Mẫu thức của phân số $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ là 3.

Luyện tập 4 trang 69 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x_{}^2-1}{\sqrt{x-1}}$ với $x>1$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}$$=\frac{\left(x^2-1\right).\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}.\sqrt{x-1}}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\sqrt{x-1}}{x-1}$$=\left(x+1\right)\sqrt{x-1}$.

Luyện tập 5 trang 69 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ với $x>1$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}$$=\sqrt{x}+1$.

Luyện tập 6 trang 70 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}$$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x}$$=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$.

Bài tập

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{{\left(5-x\right)}_{}^2}$ với $x\ge 5$;

b. $\sqrt{{\left(x-3\right)}_{}^4}$;

c. $\sqrt{{\left(y+1\right)}_{}^6}$ với $y<-1$.

Lời giải:

a. $\sqrt{{\left(5-x\right)}_{}^2}=\left|5-x\right|=x-5$ (Vì $x\ge 5$ nên $5-x\le 0$).

b. $\sqrt{{\left(x-3\right)}_{}^4}=\left|{\left(x-3\right)}_{}^2\right|={\left(x-3\right)}_{}^2$.

c. $\sqrt{{\left(y+1\right)}_{}^6}=\sqrt{{\left[{\left(y+1\right)}_{}^3\right]}_{}^2}=\left|{\left(y+1\right)}_{}^3\right|=-{\left(y+1\right)}_{}^3$ (Vì $y<-1$ nên $y+1<0$ suy ra ${\left(y+1\right)}_{}^3<0$).

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{25{\left(a+1\right)}_{}^2}$ với $a>-1$;

b. $\sqrt{x_{}^2{\left(x-5\right)}_{}^2}$ với $x>5$;

c. $\sqrt{2b}.\sqrt{32b}$ với $b>0$;

d. $\sqrt{3c}.\sqrt{27c_{}^3}$ với $c>0$.

Lời giải:

a. $\sqrt{25{\left(a+1\right)}_{}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{{\left(a+1\right)}_{}^2}=5.\left|a+1\right|=5\left(a+1\right)$ (Vì $a>-1$ nên $a+1>0$).

b. $\sqrt{x_{}^2{\left(x-5\right)}_{}^2}=\sqrt{x_{}^2}.\sqrt{{\left(x-5\right)}_{}^2}=\left|x\right|.\left|x-5\right|=x\left(x-5\right)$ (Vì $x>5$ nên $x-5>0$).

c. $\sqrt{2b}.\sqrt{32b}=\sqrt{2b.32b}=\sqrt{64b_{}^2}=\sqrt{64}.\sqrt{b_{}^2}=8\left|b\right|=8b$ (Do $b>0$).

d. $\sqrt{3c}.\sqrt{27c_{}^3}=\sqrt{3c.27c_{}^3}=\sqrt{81c_{}^4}=\sqrt{81}.\sqrt{c_{}^4}=9.\left|c_{}^2\right|=9c_{}^2$.

Bài 3 trang 71 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_{}^2}{9}}$ với $a>3$;

b. $\frac{\sqrt{75x_{}^5}}{\sqrt{5x_{}^3}}$ với $x>0$;

c. $\sqrt{\frac{9}{x_{}^2-2x+1}}$ với $x>1$;

d. $\sqrt{\frac{x_{}^2-4x+4}{x_{}^2+6x+9}}$ với $x\ge 2$.

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_{}^2}{9}}=\frac{\sqrt{{\left(3-a\right)}_{}^2}}{\sqrt{9}}=\frac{\left|3-a\right|}{3}=\frac{a-3}{3}$ (Vì $a>3$ nên $3-a<0$).

b. $\frac{\sqrt{75x_{}^5}}{\sqrt{5x_{}^3}}=\sqrt{\frac{75x_{}^5}{5x_{}^3}}=\sqrt{25x_{}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{x_{}^2}=5\left|x\right|=5x$ (Do $x>0$).

c. $\sqrt{\frac{9}{x_{}^2-2x+1}}=\sqrt{\frac{9}{{\left(x-1\right)}_{}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-1\right)}_{}^2}}=\frac{3}{\left|x-1\right|}=\frac{3}{x-1}$ (Vì $x>1$ nên $x-1>0$).

d. $\sqrt{\frac{x_{}^2-4x+4}{x_{}^2+6x+9}}=\sqrt{\frac{{\left(x-2\right)}_{}^2}{{\left(x+3\right)}_{}^2}}=\frac{\sqrt{{\left(x-2\right)}_{}^2}}{\sqrt{{\left(x+3\right)}_{}^2}}=\frac{\left|x-2\right|}{\left|x+3\right|}=\frac{x-2}{x+3}$ (Vì $x\ge 2$ nên $x-2\ge 0,x+3>0$).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{9}{2\sqrt{3}}$;

b. $\frac{2}{\sqrt{a}}$ với $a>0$;

c. $\frac{7}{3-\sqrt{2}}$;

d. $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ với $x>0;x\ne 9$;

e. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$;

g. $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$ với $x>0,x\ne 3$.

Lời giải:

a. $\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2.3}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

b. $\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a}$.

c. $\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{9-2}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{7}=3+\sqrt{2}$.

d. $\frac{5}{\sqrt{x}+3}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-9}$.

e. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}=5-2\sqrt{6}$.

g. $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=\frac{1\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{x-3}$.

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}$ với $a\ge 0,b\ge 0,a\ne b$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{a-\sqrt{ab}}{a-b}-\frac{\sqrt{ab}-b}{a-b}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{a-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}\\ =\frac{a-2\sqrt{ab}-b}{a-b}.\end{array}$