Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Giải Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Khởi động trang 55 Toán 9 Tập 1: Khi một quả bóng rổ được thả xuống, nó sẽ nảy trở lại, nhưng do tiêu hao năng lượng nên nó không đạt dược chiều cao như lúc bắt đầu. Hệ số phục hồi của quả bóng rổ được tính theo công thức $C_R=\sqrt{\frac{h}{H}}$, trong đó H là độ cao mà quả bóng được thả rơi và h là độ cao mà quả bóng bật lại.

Một quả bóng rơi từ độ cao $3,24m$ và bật lại độ cao $2,25m$. Làm thế nào để viết hệ số phục hồi của quả bóng đó dưới dạng phân số?

Lời giải:

$C_R=\sqrt{\frac{2,25}{3,24}}$

Hoạt động 1 trang 55 Toán 9 Tập 1: So sánh

a. $\sqrt{4^2}$ và $\left|4\right|$

b. $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}$ và $\left|-5\right|$

Lời giải:

a. Ta có: $\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$

$\left|4\right|=4$

Vậy $\sqrt{4^2}=\left|4\right|$.

b. Ta có: $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{25}=5$

$\left|-5\right|=5$

Vậy $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}=\left|-5\right|$.

Luyện tập 1 trang 55 Toán 9 Tập 1: Tính:

a. $\sqrt{{35}^2}$

b. $\sqrt{{\left(-\frac{7}{9}\right)}^2}$

c. $\sqrt{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2}$

Lời giải:

a. $\sqrt{{35}^2}=\left|35\right|=35$

b. $\sqrt{{\left(-\frac{7}{9}\right)}^2}=\left|-\frac{7}{9}\right|=\frac{7}{9}$

c. $\sqrt{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1-\sqrt{2}\right|$

Do $\sqrt{1}<\sqrt{2}$ hay $1<\sqrt{2}$ nên $1-\sqrt{2}<0$. Vì thế, ta có: $\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$.

Vậy $\sqrt{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$.

Hoạt động 2 trang 56 Toán 9 Tập 1: So sánh: $\sqrt{4.25}$ và $\sqrt{4}.\sqrt{25}$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{4.25}=\sqrt{100}=10\\ \sqrt{4}.\sqrt{25}=2.5=10\end{array}$

Vậy $\sqrt{4.25}=\sqrt{4}.\sqrt{25}$.

Luyện tập 2 trang 56 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a. $\sqrt{25.121}$;

b. $\sqrt{2}.\sqrt{\frac{9}{8}}$;

c. $\sqrt{10}.\sqrt{5,2}.\sqrt{52}$.

Lời giải:

a. $\sqrt{25.121}=\sqrt{25}.\sqrt{121}=5.11=55.$

b. $\sqrt{2}.\sqrt{\frac{9}{8}}=\sqrt{2.\frac{9}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$.

c. $\sqrt{10}.\sqrt{5,2}.\sqrt{52}=\sqrt{10.5,2.52}=\sqrt{52.52}=52$.

Hoạt động 3 trang 57 Toán 9 Tập 1: So sánh $\sqrt{\frac{16}{25}}$ và $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$.

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{4{}^2}}{\sqrt{5^2}}=\frac{4}{5}$.

Vậy $\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$.

Luyện tập 3 trang 57 Toán 9 Tập 1: Trong tình huống nêu ra ở phần mở đầu, viết hệ số phục hồi của quả bóng rổ dưới dạng phân số.

Lời giải:

$C_R=\sqrt{\frac{2,25}{3,24}}=\frac{\sqrt{2,25}}{\sqrt{3,24}}=\frac{1,5}{1,8}=\frac{5}{6}$.

Vậy hệ số phục hồi của quả bóng rổ là: $C_R=\frac{5}{6}$.

Hoạt động 4 trang 57 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $\sqrt{3^2.11}$ và $3\sqrt{11}$

b. $\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}$ và $-\left(-5\sqrt{2}\right)$

Lời giải:

a. Ta có: $\sqrt{3^2.11}=\sqrt{3^2}.\sqrt{11}=3\sqrt{11}$.

b. Ta có: $\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}=\sqrt{{\left(-5\right)}^2}.\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

$-\left(-5\sqrt{2}\right)=5\sqrt{2}$.

Vậy $\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}=-\left(-5\sqrt{2}\right)$.

Luyện tập 4 trang 58 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức: $\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}$.

Lời giải:

Ta có:$\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}=\sqrt{3}+\sqrt{4.3}-\sqrt{9.3}$

$=\sqrt{3}+\sqrt{2^2.3}-\sqrt{3^2.3}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$

Hoạt động 5 trang 58 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{3^2.5}$

b. $-5\sqrt{2}$ và $-\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}$.

Lời giải:

a. Ta có: $\sqrt{3^2.5}=3\sqrt{5}$.

b. Ta có: $-\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}=-5\sqrt{2}$.

Luyện tập 5 trang 59 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a. $-7\sqrt{\frac{1}{7}}$;

b. $6\sqrt{\frac{11}{6}}-\sqrt{66}$.

Lời giải:

a. $-7\sqrt{\frac{1}{7}}=\sqrt{{\left(-7\right)}^2.\frac{1}{7}}=\sqrt{49.\frac{1}{7}}=\sqrt{7}.$

b.$6\sqrt{\frac{11}{6}}-\sqrt{66}=\sqrt{6^2.\frac{11}{6}}-\sqrt{66}=\sqrt{6.11}-\sqrt{66}=\sqrt{66}-\sqrt{66}=0.$

Bài tập

Bài 1 trang 59 Toán 9 Tập 1: Tính:

a. $\sqrt{{25}^2}$;

b. $\sqrt{{\left(-0,16\right)}^2}$;

c. $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}$.

Lời giải:

a. $\sqrt{{25}^2}=\left|25\right|=25$.

b. $\sqrt{{\left(-0,16\right)}^2}=\left|-0,16\right|=0,16$.

c. $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}=\left|\sqrt{7}-3\right|$

Do $\sqrt{7}<\sqrt{9}$ hay $\sqrt{7}<3$ nên $\sqrt{7}-3<0$. Vì thế, ta có: $\left|\sqrt{7}-3\right|=3-\sqrt{7}$.

Vậy $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}=\left|\sqrt{7}-3\right|=3-\sqrt{7}$.

Bài 2 trang 59 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a. $\sqrt{36.81}$

b. $\sqrt{\mathrm{49.121.169}}$

c. $\sqrt{{50}^2-{14}^2}$

d. $\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3-\sqrt{5}}$

Lời giải:

a. $\sqrt{36.81}$ $=\sqrt{36}.\sqrt{81}$ $=6.9$ $=54$.

b. $\sqrt{\mathrm{49.121.169}}$ $=\sqrt{49}.\sqrt{121}.\sqrt{169}$ $=\mathrm{7.11.13}$ $=1001$.

c. $\sqrt{{50}^2-{14}^2}$ $=\sqrt{\left(50-14\right)\left(50+14\right)}$ $=\sqrt{36.64}$ $=\sqrt{36}.\sqrt{64}$ $=6.8$ $=48$.

d. $\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3-\sqrt{5}}$ $=\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right).\left(3-\sqrt{5}\right)}$ $=\sqrt{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}$ $=\sqrt{9-5}$ $=\sqrt{4}$ $=2$.

Bài 3 trang 59 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a. $\sqrt{\frac{49}{36}}$

b. $\sqrt{\frac{{13}^2-{12}^2}{81}}$

c. $\frac{\sqrt{9^3+7^3}}{\sqrt{9^2-9.7+7^2}}$

d. $\frac{\sqrt{{50}^3-1}}{\sqrt{{50}^2+51}}$

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{49}{36}}$ $=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}}$ $=\frac{7}{6}$.

b. $\sqrt{\frac{{13}^2-{12}^2}{81}}$ $=\sqrt{\frac{\left(13-12\right)\left(13+12\right)}{81}}$ $=\frac{\sqrt{1.25}}{\sqrt{81}}$ $=\frac{5}{9}$.

c. $\frac{\sqrt{9^3+7^3}}{\sqrt{9{}^2-9.7+7^2}}$ $=\frac{\sqrt{\left(9+7\right)\left(9^2-9.7+7^2\right)}}{\sqrt{9^2-9.7+7^2}}$ $=\frac{\sqrt{9+7}.\sqrt{9^2-9.7+7^2}}{\sqrt{9^2-9.7+7^2}}$ $=\sqrt{16}$ $=4$.

d. $\frac{\sqrt{{50}^3-1}}{\sqrt{{50}^2+51}}$ $=\frac{\sqrt{\left(50-1\right)\left({50}^2+50.1+1^2\right)}}{\sqrt{{50}^2+51}}$ $=\frac{\sqrt{49}.\sqrt{{50}^2+51}}{\sqrt{{50}^2+51}}$ $=\sqrt{49}$ $=7$.

Bài 4 trang 59 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{75}$;

b. $2\sqrt{80}-2\sqrt{5}-3\sqrt{20}$;

c. $\sqrt{2,8}.\sqrt{0,7}$.

Lời giải:

a. $\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{75}$ $=\sqrt{4.3}-\sqrt{9.3}+\sqrt{25.3}$ $=\sqrt{2^2.3}-\sqrt{3^2.3}+\sqrt{5^2.3}$ $=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+5\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

b. $2\sqrt{80}-2\sqrt{5}-3\sqrt{20}$ $=2\sqrt{16.5}-2\sqrt{5}-3\sqrt{4.5}$ $=2\sqrt{4^2.5}-2\sqrt{5}-3\sqrt{2^2.5}$ $=8\sqrt{5}-2\sqrt{5}-6\sqrt{5}=0$.

c. $\sqrt{2,8}.\sqrt{0,7}$ $=\sqrt{4.0,7}.\sqrt{0,7}$ $=2\sqrt{0,7}.\sqrt{0,7}$ $=2.0,7=1,4$.

Bài 5 trang 59 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai, hãy rút gọn biểu thức:

a. $9\sqrt{\frac{2}{9}}-3\sqrt{2}$

b. $\left(2\sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{12}-\sqrt{11}\right)$

Lời giải:

a. $9\sqrt{\frac{2}{9}}-3\sqrt{2}=\sqrt{9^2.\frac{2}{9}}-\sqrt{3^2.2}$ $=\sqrt{9.2}-\sqrt{9.2}=\sqrt{18}-\sqrt{18}=0$

b.$\left(2\sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{12}-\sqrt{11}\right)$$=\left(\sqrt{2^2.3}+\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{12}-\sqrt{11}\right)$$=\left(\sqrt{12}+\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{12}-\sqrt{11}\right)$$={\left(\sqrt{12}\right)}^2-{\left(\sqrt{11}\right)}^2$ $=12-11=1$

Bài 6 trang 60 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $\sqrt{3}.\sqrt{7}$ và $\sqrt{22}$;

b. $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{2}}$ và $5$;

c. $3\sqrt{7}$ và $\sqrt{65}$.

Lời giải:

a. Ta có: $\sqrt{3}.\sqrt{7}=\sqrt{3.7}=\sqrt{21}$

Do $21<22$ nên $\sqrt{21}<\sqrt{22}$ hay $\sqrt{3.7}<\sqrt{22}$. Vậy $\sqrt{3}.\sqrt{7}<\sqrt{22}$.

b. Ta có: $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{52}{2}}=\sqrt{26}$.

Do $26>25$ nên $\sqrt{26}>\sqrt{25}$ hay $\sqrt{\frac{52}{2}}>5$. Vậy $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{2}}>5$.

c. Ta có: $3\sqrt{7}=\sqrt{3^2.7}=\sqrt{9.7}=\sqrt{63}$.

Do $63<65$ nên $\sqrt{63}<\sqrt{65}$. Vậy $3\sqrt{7}<\sqrt{65}$.

Bài 7 trang 60 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh a. Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC theo a.

Lời giải:

Do AH là đường cao của tam giác đều ABC.

Suy ra AH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra H là trung điểm của BC.

Suy ra $HB=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$.

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$A{H}^2+H{B}^2=A{B}^2$ (Định lý Py – ta – go)

$\begin{array}{l}A{H}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2\\ A{H}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\\ AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\end{array}$

Vậy $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Bài 8 trang 60 Toán 9 Tập 1: Trong Vật lí, ta có định luật Joule – Lenz để tính nhiệt lượng tỏa ra ở dây dẫn khi có dòng điện chạy qua: $Q=I^{2}Rt$.

Trong đó: Q là nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn tính theo Jun (J);

I là cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn tính theo Ampe (A);

R là điện trở dây dẫn tính theo Ohm $\left(\mathrm{\Omega }\right)$;

t là thời gian dòng điện chạy qua dây dẫn tính theo giây.

Áp dụng công thức trên để giải bài toán sau: Một bếp điện khi hoạt động bình thường có điện trở $R=80\mathrm{\Omega }$. Tính cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn, biết nhiệt lượng mà dây dẫn tỏa ra trong 1 giây là 500J.

Lời giải:

Ta có: $500=I^2.80.1$

$\begin{array}{l}500=I^2.80\\ I^2=\frac{25}{4}\\ I=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}.\end{array}$

Bài 9 trang 60 Toán 9 Tập 1: Tốc độ gần đúng của một ô tô ngay trước khi đạp phanh được tính theo công thức $v=\sqrt{2\lambda gd}$, trong đó $v\left(m/s\right)$ là tốc độ của ô tô, $d\left(m\right)$ là chiều dài của vết trượt tính từ thời điểm đạp phanh cho đến khi ô tô dừng lại trên đường, $\lambda$ là hệ số cản lăn của mặt đường, $g=9,8m/s^2$. Nếu một ô tô để lại vết trượt dài khoảng 20m trên đường nhựa thì tốc độ của ô tô trước khi đạp phanh là khoảng bao nhiêu mét trên giây (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng hệ số cản lăn của đường nhựa là $\lambda =0,7$.

Lời giải:

$v=\sqrt{2.0,7.9,8.20}=\sqrt{274,4}\approx 17\left(m/s\right)$.