Giải Toán 9 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7

Giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 7

Bài 1 trang 66 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + 2x + c = 0. Điều kiện của c để phương trình có hai nghiệm phân biệt là

A. c < 1.

B. c > 1.

C. c ≤ 1.

D. c ≥ 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² + 2x + c = 0 có các hệ số a = 1, b = 2 và c.

Do b = 2 nên b’ = 1.

Ta có: ∆’ = 1² – 1.c = 1 – c.

Để phương trình x² + 2x + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0, tức là 1 – c > 0, suy ra c < 1.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 2 trang 66 Toán 9 Tập 2: Giả sử đồ thị của hàm số y = ax² là parabol ở Hình 9. Giá trị của a bằng

A. 2.

B. –2.

C. $\frac{1}{2}.$

D. $-\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát Hình 9 ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (1; –2) nên thay x = 1 và y = –2 vào hàm số y = ax², ta có:

–2 = a.1² hay a = –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3 trang 66 Toán 9 Tập 2: Cho hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

a) Tìm giá trị của y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Dựa vào bảng giá trị trên, vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

Với x = –3 thì $y=-\frac{2}{3}\cdot {\left(-3\right)}^2=-6;$

Với x = –1 thì $y=-\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2=-\frac{2}{3};$

Với x = 0 thì $y=-\frac{2}{3}\cdot 0^2=0;$

Với x = 1 thì $y=-\frac{2}{3}\cdot 1^2=-\frac{2}{3};$

Với x = 3 thì $y=-\frac{2}{3}\cdot 3^2=-6.$

Vậy ta hoàn thành được bảng giá trị như sau:

b) – Vẽ các điểm A(–3; –6); $B\left(-1;-\frac{2}{3}\right);$ O(0; 0); $C\left(1;-\frac{2}{3}\right);$ D(3; –6) thuộc đồ thị hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

– Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm A, B, O, C, D, ta nhận được đồ thị của hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2$ (hình vẽ).

Bài 4 trang 66 Toán 9 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường parabol ở Hình 10 biểu diễn đồ thị của hàm số y = ax².

a) Tìm hệ số a.

b) Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 3.

c) Tìm điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 4.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 10, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm $\left(2;\frac{16}{3}\right)$nên thay x = 2 và $y=\frac{16}{3}$ vào hàm số y = ax², ta được: $\frac{16}{3}=a\cdot 2^2,$ hay $4a=\frac{16}{3},$ suy ra $a=\frac{4}{3}.$

Vậy $a=\frac{4}{3}.$

b) Khi $a=\frac{4}{3},$ ta có hàm số $y=\frac{4}{3}{x}^2.$

Điểm thuộc đồ thị $y=\frac{4}{3}{x}^2$ có hoành độ bằng 3 nên thay x = 3 vào hàm số $y=\frac{4}{3}{x}^2,$ ta được: $y=\frac{4}{3}\cdot 3^2=12.$

Vậy điểm cần tìm là (3; 12).

c) Điểm thuộc đồ thị $y=\frac{4}{3}{x}^2$ có tung độ bằng 4 nên thay y = 4 vào hàm số $y=\frac{4}{3}{x}^2,$ ta được: $4=\frac{4}{3}{x}^2,$ suy ra $x^2=3,$ nên $x=\sqrt{3}$ hoặc $x=-\sqrt{3}.$

Vậy các điểm cần tìm là $\left(\sqrt{3};4\right)$và $\left(-\sqrt{3};4\right).$

Bài 5 trang 66 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 3x² – 2x – 4 = 0;

b) 9x² – 24x + 16 = 0;

c) $2x^2+x+\sqrt{2}=0.$

Lời giải:

a) 3x² – 2x – 4 = 0

Phương trình có các hệ số a = 3, b = –2, c = –4. Do b = –2 nên b’ = –1.

Ta có: ∆’ = (–1)² – 3.(–4) = 13 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{13}}{3}=\frac{1+\sqrt{13}}{3};$$x_2=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{13}}{3}=\frac{1-\sqrt{13}}{3}.$

b) 9x² – 24x + 16 = 0

Phương trình có các hệ số a = 9, b = –24, c = 16. Do b = –24 nên b’ = –12.

Ta có: ∆’ = (–12)² – 9.16 = 0.

Do ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{-12}{9}=\frac{4}{3}.$

c) $2x^2+x+\sqrt{2}=0$

Phương trình có các hệ số a = 2, b = 1, c = $\sqrt{2},$

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \sqrt{2}=1-8\sqrt{2}<0.$

Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6 trang 66 Toán 9 Tập 2: Không tính ∆, giải các phương trình:

a) x² – 3x + 2 = 0;

b) –3x² + 5x + 8 = 0;

c) $\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}=0.$

Lời giải:

a) x² – 3x + 2 = 0

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –3, c = 2.

Ta thấy: a + b + c = 1 + (–3) + 2 = 0.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x₁ = 1 và $x_2=\frac{2}{1}=2.$

b) –3x² + 5x + 8 = 0

Phương trình có các hệ số a = –3, b = 5, c = 8.

Ta thấy: a – b + c = –3 – 5 + 8 = 0.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x₁ = –1 và $x_2=-\frac{8}{-3}=\frac{8}{3}.$

b) $\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}=0$

Phương trình có các hệ số $b=\frac{1}{6};$$x=-\frac{1}{2}.$

Ta thấy:$a+b+c=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\left(\frac{-1}{2}\right)=0.$

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x­₁ = 1 và $x_2=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=-\frac{3}{2}.$

Lời giải:

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2-4\sqrt{2}x+6=0.$

Phương trình có các hệ số a = 1, $b=-4\sqrt{2},$ c = 6.

Do $b=-4\sqrt{2}$ nên $b^{\text{'}}=-2\sqrt{2}.$

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-2\sqrt{2}\right)}^2-1\cdot 6=8-6=2>0.$

Do ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}}{1}=3\sqrt{2};$$x_2=\frac{-\left(-2\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}.$

Vậy hai số cần tìm là $3\sqrt{2}$và $\sqrt{2}$

Bài 8 trang 67 Toán 9 Tập 2: Giải thích vì sao nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 2x – 3;

b) 3x² + 5x – 2.

Lời giải:

⦁ Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x₁ và x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ và $x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Suy ra b = –a(x₁ + x₂) và c = ax₁x₂.

Do đó:

ax² + bx + c = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

= ax² – ax₁x – ax₂x + ax₁x₂

= ax(x – x₁) – ax₂(x – x₁)

= a(x – x₁)(x – x₂).

Vậy nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử là: ax² + bx + c = a(x – x­₁)(x – x₂).

⦁ Áp dụng: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

a) x² – 2x – 3

Phương trình x² – 2x – 3 = 0 có các hệ số a = 1, b = –2, c = –3.

Ta thấy: a – b + c = 1 – (–2) + (–3) = 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm x₁ = –1 và $x_2=-\frac{-3}{1}=3.$

Vậy đa thức x² – 2x – 3 phân tích được thành nhân tử như sau:

x² – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3).

b) 3x² + 5x – 2

Phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 có các hệ số a = 3, b = 5, c = –2.

Ta có: ∆ = 5² – 4.3.(–2) = 49 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{1}{3};$$x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=-2.$

Vậy đa thức 3x² + 5x – 2 phân tích được thành nhân tử như sau:

$3x^2+5x–2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right).$

Bài 9 trang 67 Toán 9 Tập 2: Một chiếc áo có giá niêm yết là 120 000 đồng. Để thanh lí chiếc áo, đầu tiên người ta giảm giá x% so với giá niêm yết. Do vẫn chưa bán được chiếc áo nên người ta tiếp tục giảm giá x% so với giá vừa được giảm. Sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn 76 800 đồng. Tìm x.

Lời giải:

Giá của chiếc áo sau lần giảm giá thứ nhất là:

120 000 – 120 000 . x% = 120 000 – 1 200x (đồng).

Giá của chiếc áo sau hai lần giảm giá là:

120 000 – 1 200x – (120 000 – 1 200x).x%

= 120 000 – 1 200x – 1 200x + 12x²

= 12x² – 2 400x + 120 000 (đồng).

Theo bài, sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn 76 800 đồng nên ta có phương trình:

12x² – 2 400x + 120 000 = 76 800

12x² – 2 400x + 43 200 = 0

x² – 200x + 3 600 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –200, c = 3 600.

Do b = –200 nên b’ = –100.

Ta có: ∆’ = (–100)² – 1 . 3 600 = 6 400 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-100\right)+\sqrt{6400}}{1}=180;$$x_2=\frac{-\left(-100\right)-\sqrt{6400}}{1}=20.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₂ = 20 thỏa mãn điều kiện vì x% < 100%.

Vậy x = 20 là giá trị cần tìm.

Bài 10 trang 67 Toán 9 Tập 2: Một công ty sản xuất các khay có dạng hình hộp chữ nhật để trồng rau trong chung cư ở các thành phố. Biết diện tích mặt đáy của khay đó là 2 496 cm² và chu vi mặt đáy của khay đó là 220 cm. Tìm các kích thước mặt đáy của khay đó.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của mặt đáy khay hình chữ nhật là x₁; x­₂ (cm) (x₁ > 0, x­₂ > 0).

Ta có nửa chu vi và diện tích mặt đáy khay hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x­₂ (cm) và x₁x₂ (cm²).

Theo bài, mặt đáy khay có chu vi là 220 m nên nửa chu vi của mặt đáy khay là 220 : 2 = 110 (cm), do đó x₁ + x­₂ = 110.

Diện tích mặt đáy khay hình chữ nhật là 2 496 cm², do đó x₁x₂ = 2 496.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 110x + 2 496 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –110, c = 2 496.

Do b = –110 nên b’ = –55.

Ta có: ∆’ = (–55)² – 1 . 2 496 = 529 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-55\right)+\sqrt{529}}{1}=78;$$x_2=\frac{-\left(-55\right)-\sqrt{529}}{1}=32.$

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0.

Vậy chiều dài và chiều rộng của mặt đáy khay đó lần lượt là 78 (cm) và 32 (cm) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Bài 11 trang 67 Toán 9 Tập 2: Cầu Trường Tiền (hay cầu Tràng Tiền) ở thành phố Huế được khởi công vào tháng 5/1899 và khánh thành vào ngày 18/12/1900. Cầu được thiết kế theo kiến trúc Gothic, bắc qua sông Hương. Từ Festival Huế năm 2002, cầu Trường Tiền được lắp đặt một hệ thống chiếu sáng đổi màu hiện đại. Cầu dài 402,60 m, gồm 6 nhịp dầm thép.

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Giả sử một nhịp dầm thép có dạng parabol y = ax² trong hệ trục toạ độ Oxy, ở đó Ox song song với mặt cầu. Biết rằng, hai chân nhịp dầm thép trên mặt cầu cách nhau 66,66 m, khoảng cách từ đỉnh cao nhất của nhịp dầm thép đến mặt cầu là 5,45 m (Hình 11).

a) Xác định tọa độ của hai chân nhịp dầm thép đó.

b) Tìm a (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Lời giải:

a) Gọi tọa độ của hai chân nhịp dầm thép đó là A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂).

Vì nhịp dầm thép có dạng parabol y = ax² và khoảng cách từ đỉnh cao nhất của nhịp dầm thép đến mặt cầu là 5,45 m nên đồ thị của hàm số y = ax² nằm bên dưới trục hoành (a < 0) và y₁ = y₂ = –5,45.

Mặt khác, đồ thị hàm số y = ax² nhận trục tung làm trục đối xứng, mà hai chân nhịp dầm thép trên mặt cầu cách nhau 66,66 m nên ta có $x_1=-\frac{66,66}{2}=33,33$ và $x_2=\frac{66,66}{2}=33,33.$

Vậy hai chân nhịp dầm trên có toạ độ lần lượt là A(–33,33; –5,45); B(33,33; –5,45).

b) Vì đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm B(33,33; –5,45) nên thay x = 33,33 và y = –5,45 vào hàm số y = ax², ta được:

–5,45 = a.33,33², suy ra $a=\frac{-5,45}{33,{33}^2}\approx -0,005$ (thỏa mãn).

Vậy a ≈ –0,005.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Chủ đề 2: Mật độ dân số

Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn