Quan sát Hình 28 biết góc AMN=góc ABC, góc BAC = góc BML

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 28 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 28 biết $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}, \widehat{BAC}=\widehat{BML}.$

a) Chứng minh: ∆AMN ᔕ ∆MBL.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC.

Lời giải:

a) Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ và 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Do đó ∆AMN ᔕ ∆ABC (1).

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{BML}$ và 2 góc này ở vị trí đồng vị nên ML // AC.

Do đó ∆MBL ᔕ ∆ABC (2).

Từ (1), (2) ta có ∆AMN ᔕ ∆MBL.

b) Giả sử ∆AMN ᔕ ∆ABC với tỉ số đồng dạng k, ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k.$

Suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ = $\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k$ hay $\frac{\text{ Chu vi tam giác }AMN}{\text{ Chu vi tam giác }ABC}=k.$

Do đó, để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC thì $AM=\frac{2}{3}AB.$

Ngược lại, dễ thấy nếu $AM=\frac{2}{3}AB$ thì chu vi tam giác ABC bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC.

Vậy vị trí của điểm M trên cạnh AB để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC là $AM=\frac{2}{3}AB.$