Bài 4 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1: Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Lời giải:

Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất lần lượt là x (chiếc) và y (chiếc)  (Điều kiện: $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$)

Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là T = 24x + 15y.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}$ (giờ).

Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là $2.\frac{1}{60}=\frac{1}{30}$(giờ).

Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất là $\frac{1}{30}x$ (giờ).

Thời gian để làm y chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}y$ (giờ).

Tổng thời gian để làm hai loại mũ trong một ngày là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y$ (giờ).

Vì một ngày phân xưởng làm việc 8 tiếng nên $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y\le 8\iff 2x+y\le 480$.

Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 480\\ 0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\end{array}\right.\left(I\right)$

sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền không bị gạch chéo tính cả biến hay chính là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0) (hình dưới).

(A là giao điểm của trục tung và đường thẳng y = 240 nên A(0; 240); C là giao điểm của đường thẳng y = 240 và 2x + y = 480 nên C(120; 240), D là giao điểm của đường thẳng 2x + y = 480 và x = 200 nên D(200; 80), E là giao điểm của trục hoành và đường thẳng x = 200 nên E(200; 0)). 

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO.

Tính giá trị của biểu thức T = 24x + 15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO: 

+ Tại đỉnh A: T = 24 . 0 + 15 . 240 = 3 600; 

+ Tại đỉnh C: T = 24 . 120 + 15 . 240 = 6 480;

+ Tại đỉnh D: T = 24 . 200 + 15 . 80 = 6 000;

+ Tại đỉnh E: T = 24 . 200 + 15 . 0 = 4 800;

+ Tại đỉnh O: T = 24 . 0 + 15 . 0 = 0 

So sánh giá trị của biểu thức T tại các đỉnh, ta thấy T đạt giá trị lớn nhất bằng 6 480 khi x = 120 và y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C. 

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Câu hỏi khởi động trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp...

Hoạt động 1 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình sau...

Luyện tập 1 trang 25 Toán lớp 10 Tập 1: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau...

Hoạt động 2 trang 26 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình sau...

Luyện tập 2 trang 27 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau...

Bài 1 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1: Kiểm tra xem mỗi cặp số (x; y) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không...

Bài 2 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình...

Bài 3 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1: Miền không bị gạch trong mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác