Giải Toán 10 trang 40 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 40 Tập 2

Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2:

Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$

b) Gỉa sử H có toạ độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a.(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)={\text{ax}}_0+b{y}_0+c$

c) Chứng minh rằng HM = $\frac{\left|{\text{ax}}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

 

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= $\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{MH}\right|.\cos (\overrightarrow{n};\overrightarrow{HM})$=$\sqrt{a^2+b^2}.MH.\cos (\overrightarrow{n};\overrightarrow{HM})$

Mà $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{HM}$ là hai vectơ cùng phương (vì cùng vuông góc với ∆) nên $(\overrightarrow{n};\overrightarrow{HM})$= 0⁰

Do đó, $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= $\sqrt{a^2+b^2}.MH.\cos 0^0$= $\sqrt{a^2+b^2}.MH$.

Vậy $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$(*) (đpcm)

b) Ta có: $\overrightarrow{HM}$= ( x₀ – x₁; y₀ – y₁)

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= a.(x₀ – x₁) + b.(y₀ – y₁)

                                     = ax₀ – ax₁ + by₀ – by₁

      = ax₀ + by₀ – ax₁– by₁ (1)

Thoe giả thiết ta có điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên ax₁ + by₁ + c = 0

                                                                                     ⇒ – ax₁ – by₁ = c (2)

Thay (2) và (1) ta được: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= a.(x₀ – x₁) + b.(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c (đpcm)

 Hay $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|$ (**)

c) Từ (*) và (**) ta có: $\sqrt{a^2+b^2}.MH$ = $\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|$ ( = $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|$).

⇒ MH = $\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$(đpcm).

Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2:

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

 

Lời giải

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là MH = 2 (đơn vị độ dài).

Kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4 vì ở cả Ví dụ 4 và bài trải nghiệm thì đều tính khoảng cách từ điểm M (2; 4) đến đường thẳng ∆: 3x + 4y – 12 = 0.

Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2:

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\right.$

Lời giải

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$(3; -4). Do đó, vectơ pháp tuyến của ∆ là: $\overrightarrow{n}$(4; 3).

Lấy điểm A(5; -5) thuộc ∆.

Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là:

4(x – 5) + 3(y + 5) = 0

⇔ 4x – 20 + 3y + 15 = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0

Khi đó khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng ∆ là :

d(M; ∆) = $\frac{\left|4.1+3.2-5\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}$= $\frac{5}{5}$ = 1.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 1.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 36 Tập 2

Giải Toán 10 trang 37 Tập 2

Giải Toán 10 trang 38 Tập 2

Giải Toán 10 trang 39 Tập 2

Giải Toán 10 trang 40 Tập 2

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

Giải Toán 10 trang 42 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp