Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.

Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2:

Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$

b) Gỉa sử H có toạ độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}=a.(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)={\text{ax}}_0+b{y}_0+c$

c) Chứng minh rằng HM = $\frac{\left|{\text{ax}}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

 

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= $\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{MH}\right|.\cos (\overrightarrow{n};\overrightarrow{HM})$=$\sqrt{a^2+b^2}.MH.\cos (\overrightarrow{n};\overrightarrow{HM})$

Mà $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{HM}$ là hai vectơ cùng phương (vì cùng vuông góc với ∆) nên $(\overrightarrow{n};\overrightarrow{HM})$= 0⁰

Do đó, $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= $\sqrt{a^2+b^2}.MH.\cos 0^0$= $\sqrt{a^2+b^2}.MH$.

Vậy $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\sqrt{a^2+b^2}.HM$(*) (đpcm)

b) Ta có: $\overrightarrow{HM}$= ( x₀ – x₁; y₀ – y₁)

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= a.(x₀ – x₁) + b.(y₀ – y₁)

                                     = ax₀ – ax₁ + by₀ – by₁

      = ax₀ + by₀ – ax₁ – by₁ (1)

Thoe giả thiết ta có điểm H thuộc đường thẳng ∆ nên ax₁ + by₁ + c = 0

                                                                                     ⇒ – ax₁ – by₁ = c (2)

Thay (2) và (1) ta được: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$= a.(x₀ – x₁) + b.(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c (đpcm)

 Hay $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|=\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|$ (**)

c) Từ (*) và (**) ta có: $\sqrt{a^2+b^2}.MH$ = $\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|$ ( = $\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}\right|$).

⇒ MH = $\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$(đpcm).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 36 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $∆$₁: x – 2y + 3 = 0 $∆$₂: 3x – y – 1 = 0... 

Luyện tập 1 trang 37 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) $∆$₁: x + 4y – 3 = 0 và $∆$₂: x – 4y – 3 = 0... 

Hoạt động 2 trang 37 Toán 10 Tập 2: Hai đường thẳng $∆$₁ và $∆$₂ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mỗi quan hệ gì... 

Hoạt động 3 trang 38 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau $∆$₁ và $∆$₂ tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$... 

Luyện tập 2 trang 39 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng $∆$₁: x + 3y + 2 = 0 và $∆$₂: y = 3x + 1... 

Luyện tập 3 trang 39 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng $∆$₁:$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$ và $∆$ ₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\text{'}\\ y=5+3t\text{'}\end{array}\right.$... 

Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng $∆$: y = ax + b với a $\ne$0. a) Chứng minh rằng $∆$ cắt trục hoành... 

Hoạt động 4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng $∆$: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc... 

Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $∆$ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp... 

Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $∆$: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-5-4t\end{array}\right.$... 

Vận dụng  trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD... 

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) $∆$₁ : 3 $\sqrt{2x}$ + $\sqrt{2y}$ – $\sqrt{3}$ = 0... 

Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) $∆$₁ : $\sqrt{3x}$ + y – 4 = 0 và $∆$₂ : x + $\sqrt{3y}$ + 3 = 0... 

Bài 7.9 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(0; –2) và đường thẳng $∆$: x + y – 4 = 0 a) Tính khoảng cách từ điểm A... 

Bài 7.10 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(–2; –1) a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A... 

Bài 7.11 trang 42 Toán 10 Tập 2: Chứng minh hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d’: y = a’x + b’ (a’ $\ne$0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ = –1... 

Bài 7.12 trang 42 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại 3 vị trí... 

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp