Giải Toán 10 trang 41 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

Vận dụng  trang 41 Toán 10 Tập 2:

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m (H.7.11)

a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng 1m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m . Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào ao nuôi vịt hay không ?                         

 

Lời giải

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

 

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AD = BC = 15m, AB = DC = 12m, AE = 5m, CF  = 6m.

Khi đó, toạ các điểm lần lượt là: C(15; 0), A(0; 12), E(5; 12), D(15; 12), F(15; 6), B(0; 0).

Ta có: $\overrightarrow{EF}$= (10; -6)

Đường thẳng EF đi qua điểm  E(5; 12) và nhận $\overrightarrow{u}$= $\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}$= (5, -3)  làm vectơ chỉ phương do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là: $\overrightarrow{n}$(3; 5)

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng EF là 3x + 5y – 75 = 0.

b) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng EF là:

d(B, EF) = $\frac{\left|3.0+5.0–75\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}$= $\frac{75}{\sqrt{34}}$ ≈ 12,86 > 10,7

Vậy nếu Nam đứng ở vị trí B câu cá thì lưỡi câu không thể rơi vào ao nuôi vịt.

B. Bài tập

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2:

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁ : 3$\sqrt{2}$x + $\sqrt{2}$y –$\sqrt{3}$= 0 và ∆₂ : 6x + 2y –$\sqrt{6}$= 0

b) d₁ : x –$\sqrt{3}$y + 2 = 0 và d₂ : $\sqrt{3}$x – 3y + 2 = 0

c) m₁ : x – 2y + 1= 0 và m₂ : 3x + y – 2 = 0

Lời giải

a) Vì 3$\sqrt{2}$x + $\sqrt{2}$y –$\sqrt{3}$= 0 ⇔ $\sqrt{2}$. (3$\sqrt{2}$x + $\sqrt{2}$y –$\sqrt{3}$) = 0

     ⇔  6x + 2y –$\sqrt{6}$= 0

Vậy ∆₁ và ∆₂ trùng nhau.

b)

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$(1; $-\sqrt{3}$)

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$($\sqrt{3}$; -3)

Vì $\overrightarrow{n_2}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{n_1}$nên $\overrightarrow{n_1}$; $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương nên d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, thay điểm A(–2; 0) vào phương trình đường thẳng d₁, ta có: –2 + $\sqrt{3}$.0 + 2 = 0, do đó: điểm A(–2; 0)thuộc đường thẳng d₁.  

Thay điểm A(–2; 0) vào phương trình đường thẳng d₂ , ta có:

$\sqrt{3}$.(–2) – 3.0 + 2 = –2$\sqrt{3}$+ 2 ≠ 0, do đó điểm A(–2; 0) không thuộc đường thẳng d₂ .

Vậy d₁ và d₂ là hai đường thẳng song song

c)

Đường thẳng m₁ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$(1; -2)

Đường thẳng m₂ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$(3; 1)

Vì $\frac{1}{3}\ne \frac{-2}{1}$nên $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ không cùng phương , do đó: m₁ và m₂ cắt nhau

Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2:

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁ : $\sqrt{3}$x + y – 4 = 0 và ∆₂ : x +$\sqrt{3}$y + 3 = 0

b) d₁ : $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{array}\right.$ và d₂ : $\left\{\begin{array}{l}x=3+s\\ y=1-3s\end{array}\right.$(t; s là các tham số)

Lời giải

a) Đường thẳng ∆₁ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$($\sqrt{3}$; 1)

Đường thẳng ∆₂ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$(1; $\sqrt{3}$)

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Ta có:

cos α = $\left|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})\right|$=$\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$= $\frac{\left|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là α = 30°.

b)

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$(2; 4) do đó: vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$(4; -2)

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}$(1; -3) do đó: vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$(3; 1)

Gọi β là góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có:

cos β = $\left|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})\right|$=$\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$= $\frac{\left|4.3+(-2).1\right|}{\sqrt{4^2+{(-2)}^2}.\sqrt{3^2+1^2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là β = 45°.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 36 Tập 2

Giải Toán 10 trang 37 Tập 2

Giải Toán 10 trang 38 Tập 2

Giải Toán 10 trang 39 Tập 2

Giải Toán 10 trang 40 Tập 2

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

Giải Toán 10 trang 42 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp