Giải Toán 10 trang 42 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 42 Tập 2

Bài 7.9 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(0; –2) và đường thẳng ∆ : x + y – 4 = 0

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(–1; 0) và song song với ∆.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Lời giải

a) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(1; 1)

d(A; ∆) = $\frac{\left|0-2–4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$= $\frac{6}{\sqrt{2}}$= $3\sqrt{2}$.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là d(A; ∆) = $3\sqrt{2}$.

b) Đường thẳng a song song với đường thẳng ∆ nên phương trình đường thẳng a có dạng: x + y + c = 0

Vì đường thẳng a đi qua điểm M(–1; 0) nên -1 + 0 + c = 0 ⇒ c = 1

Vậy phương trình đường thẳng a là: x + y + 1 = 0.

c) Đường thẳng b vuông góc với đường thẳng ∆ nên đường thẳng b nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ làm vectơ pháp tuyến

Ta có đường thẳng ∆ có VTCP là: $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(1; –1) nên VTPT của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{n_b}$(1; –1).

Vậy phương trình đường thẳng b là: 1.(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0.

Bài 7.10 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(–2; –1)

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích ABC.

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{CB}$= (5; 3)

Đường thẳng BC có $\overrightarrow{CB}$là vectơ chỉ phương , do đó: vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là $\overrightarrow{n}$(3; –5)

Phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

AH = d(A; BC) = $\frac{\left|3.1–5.0+1\right|}{\sqrt{3^2+{(-5)}^2}}$= $\frac{4}{\sqrt{34}}$= $\frac{2\sqrt{34}}{17}$.

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là $\frac{2\sqrt{34}}{17}$(đvđd) .

b) BC = $\sqrt{5^2+3^2}$=$\sqrt{34}$

Vậy diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}.AH.BC$= $\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}$= 2 (đvdt).

Bài 7.11 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Chứng minh hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d^’: y = a^’x + b^’ (a^’ ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa^’ = –1

Lời giải

* Giả sử d vuông góc d^’, ta cần chứng minh aa^’ = –1

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(a; –1)

Đường thẳng d^’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n^{\text{'}}}$(a^’; –1)

Vì d vuông góc d^’ nên $\overrightarrow{n}$.$\overrightarrow{n^{\text{'}}}$= 0

⇒ aa^’ + (–1).( –1) = 0

⇔ aa^’ + 1 = 0 hay aa^’ = –1 (đpcm)

* Giả sử hai đường thẳng d và d^’ có aa^’ = –1, ta cần chứng minh d vuông góc d^’

Xét tích vô hướng $\overrightarrow{n}$.$\overrightarrow{n^{\text{'}}}$= aa^’ + (–1).( –1) = aa^’ + 1

Mà aa^’ = –1 nên $\overrightarrow{n}$.$\overrightarrow{n^{\text{'}}}$= (–1) + 1 = 0

⇒ $\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{n^{\text{'}}}$hay d ⊥ d^’ (đpcm)

Bài 7.12 trang 42 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại 3 vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Lời giải

Gọi vị trí phát tín hiệu âm thanh là H (x; y)

Ta có:

$\overrightarrow{OH}$= (x; y) ⇒ OH = $\sqrt{x^2+y^2}$

$\overrightarrow{AH}$= (x – 1; y) ⇒ AH = $\sqrt{{(x-1)}^2+y^2}$

 $\overrightarrow{BH}$= (x – 1; y – 3) ⇒ BH = $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-3)}^2}$

 Vì tín hiệu nhận được tại 3 vị trí cùng 1 thời điểm nên OH = AH = BH             

Từ đó ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}OH=AH\\ AH=BH\end{array}\right.$ 

⇔$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{(x-1)}^2+y^2}\\ \sqrt{{(x-1)}^2+y^2}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-3)}^2}\end{array}\right.$

⇒$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^{2 }+ y^{2 }= {(x-1)}^{2 }+ y^2\\ {(x-1)}^2 + y^{2 }= {(x-1)}^2 + {(y-3)}^2\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}{x}^2=x^2-2x+1\\ y^2=y^2-6y+9\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}-2x+1=0\\ -6y+9=0\end{array}\right.$

⇒$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy điểm cần tìm là H $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 36 Tập 2

Giải Toán 10 trang 37 Tập 2

Giải Toán 10 trang 38 Tập 2

Giải Toán 10 trang 39 Tập 2

Giải Toán 10 trang 40 Tập 2

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

Giải Toán 10 trang 42 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp