Chứng minh biểu thức B = x^5 ‒ 15x^2 ‒ x + 5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên x

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Luyện tập hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 25* trang 18 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh biểu thức B = x⁵ ‒ 15x² ‒ x + 5chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

Lời giải:

Trước hết, ta chứng minh (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

Ta có: x⁵ ‒ x = x(x⁴ ‒ 1) = x(x² ‒ 1)(x² + 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)

• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) ⋮ 5 hay (x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 1thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)⋮ 5hay(x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 2thì x² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 20k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)⋮ 5hay(x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 3thì x² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 30k + 10⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)⋮ 5hay(x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 4thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1)⋮ 5hay(x⁵ ‒ x) ⋮ 5.

Do đó x⁵ ‒ x ⋮ 5với mọi số nguyên x.

Ta có: x⁵ ‒ x ⋮ 5; 15x²⋮ 5; 5 ⋮ 5nên x⁵ ‒ 15x² ‒ x + 5⋮ 5với mọi số nguyên x.

Vậy Bchia hết cho 5 với mọi số nguyên x.