Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ tập hợp

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 5 trang 20

Bài 26 trang 21 SBT Toán 11 Tập 2: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2. Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ tập hợp {1; 2; 3; …; 2n; 2n + 1}. Tính xác suất để hai số được chọn có tích là số chẵn.

Lời giải:

Tập {1; 2; 3; …; 2n; 2n + 1} có 2n + 1 số nguyên dương, trong đó có n + 1 số nguyên dương lẻ và n số nguyên dương chẵn.

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương từ 2n + 1 số nguyên dương cho ta một tổ hợp chập 2 của 2n + 1 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các các tổ hợp chập 2 của 2n + 1 phần tử và $n\left(\Omega \right)=C_{2n+1}^2.$

Xét biến cố A :“ Hai số được chọn có tích là số chẵn”.

Có hai trường hợp xảy ra biến cố A:

⦁ Trường hợp 1: Hai số được chọn đều là số chẵn có $C_{n+1}^1\cdot C_n^1$(cách chọn).

⦁ Trường hợp 2: Hai số được chọn có một số lẻ và một số chẵn, có $C_{n+1}^1\cdot C_n^1$ (cách chọn).

Suy ra, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n\left(A\right)=C_n^2+C_{n+1}^1\cdot C_n^1.$

Xác suất để hai số được chọn có tích là số chẵn là:

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_n^2+C_{n+1}^1\cdot C_n^1}{C_{2n+1}^2}.$