Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D

Giải Vở thực hành Toán 8 Bài 11: Hình thang cân

Bài 3 trang 48 VTH Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

(H.3.11). Ta có EC = ED nên tam giác ECD cân tại E, suy ra ${\widehat{D}}_2={\widehat{C}}_2.$ (1)

Do AC ⊥ CE, BD ⊥ DE nên ${\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2=\widehat{BDE}=90°,$ ${\widehat{C}}_1+{\widehat{C}}_2=\widehat{ACE}=90°.$ (2)

Gọi F là giao điểm của AC và BD.

Từ (1) và (2) suy ra ${\widehat{D}}_1={\widehat{C}}_1$ ⇒ ∆DCF cân tại F ⇒ DF = CF (3)

Do AB // CD nên ${\widehat{D}}_1={\widehat{B}}_1,{\widehat{C}}_1={\widehat{A}}_1$ (hai góc so le trong).

$\Rightarrow {\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$ ⇒ ∆ABF cân tại F ⇒ AF = BF (4)

Từ (3) và (4) suy ra AC = AF + CF = BF + DF = BD.

Suy ra hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.