Giải Vở thực hành Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3

Giải VTH Toán 8 Bài tập cuối chương 3 - Kết nối tri thức

A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 trang 65 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Chọn phương án đúng.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.

B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì góc còn lại là góc tù.

C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì hai góc còn lại phải nhọn.

D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Khẳng định A sai vì có xảy ra trường hợp tứ giác mà không có góc tù.

Chẳng hạn như hình chữ nhật có bốn góc vuông, tức là hình chữ nhật không có góc tù.

• Khẳng định B.

Tứ giác có ba góc nhọn thì tổng số đo của ba góc bé hơn: $90°.3=270°.$

Khi đó, góc còn lại sẽ lớn hơn: $360°-270°=90°.$

Do đó, góc còn lại là góc tù nên khẳng định B đúng.

• Khẳng định C sai vì có thể xảy ra trường hợp tứ giác có hai góc tù, một góc vuông và một góc nhọn.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có $\widehat{A}=100°;\widehat{B}=100°;\widehat{C}=90°;\widehat{D}=70°.$

• Khẳng định D sai vì có thể xảy ra trường hợp tứ giác có ba góc tù.

Ví dụ: Tứ giác MNPQ có  $\widehat{M}=100°;\widehat{N}=110°;\widehat{P}=120°;\widehat{Q}=30°.$

Vậy khẳng định B là đúng.

Câu 2 trang 65 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

Lời giải:

• Khẳng định a) sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì chưa chắc tứ giác đó là hình bình hành.

• Khẳng định b) sai vì tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành, còn tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau thì chưa khẳng định được là hình bình hành.

• Khẳng định c) đúng.

Tứ giác có ba góc vuông thì số đo của góc còn lại là: $360°-3.90°=90°.$

Khi đó, số đo của góc còn lại cũng là góc vuông.

Do đó, tứ giác đã cho có bốn góc vuông nên tứ giác đó là hình chữ nhật.

• Khẳng định d) sai vì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau mới là hình thoi.

Vậy khẳng định c) đúng; các khẳng định a), b), d) sai.

Câu 3 trang 65 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.

Lời giải:

a) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Nên tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

Do đó khẳng định a) đúng.

b) Tứ giác có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau là hình bình hành.

Nên tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

Do đó khẳng định b) là đúng.

c) Tứ giác có hai cạnh song song là hình thang.

Hình thang có và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Nên tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Do đó khẳng định c) đúng.

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau nhưng không song song thì không là hình bình hành.

Do đó khẳng định d) sai.

Vậy các khẳng định a), b), c) đúng; khẳng định d) sai.

B – BÀI TẬP

Bài 4 trang 66 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng nếu nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân (H.3.43).

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD đó có hai đường chéo AC = BD, hai cạnh đối AD = BC.

Hai tam giác ABD và BCA có: cạnh chung AB, AC =BD, AD =BC.

Vậy ∆ABD = ∆BCA (c.c.c).

⇒ ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1.$ (1)

Tương tự, ta có ∆ACD = ∆BDC (c.c.c)

⇒ ${\widehat{D}}_1={\widehat{C}}_1.$ (2)

Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD thì ${\widehat{O}}_1={\widehat{O}}_2.$ (hai góc đối đỉnh). (3)

Từ (1), (2), (3), ta có ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1.$ ⇒ AB // CD ⇒ ABCD là hình thang.

Vậy hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

Bài 5 trang 66 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2AB.

a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?

b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.

Lời giải:

(H.3.44). a) Tứ giác BPCD có BP // CD, BP = AB = CD nên BPCD là hình bình hành.

b) Tam giác ABD vuông cân tại A thì ABCD là hình vuông.

Hình bình hành BPCD có $\widehat{BDC}=45°,\widehat{DBP}=\widehat{DCP}=180°-45°=135°.$

Bài 6 trang 66 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.45).

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật.

Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có: PM ⊥ AC, AB ⊥ AC ⇒ PM // AB ⇒ $\widehat{CMP}=\widehat{CBA}$ (hai góc đồng vị).

Hai tam giác vuông CMP và MBN có: CM = MB, $\widehat{CMP}=\widehat{MBN}$ (chứng minh trên)

⇒ ∆CMP = ∆MBN (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Tứ giác ANMP có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

⇒ PM = AN.

∆CMP = ∆MBN ⇒ PM = BN.

Từ đó, suy ra PM = AN = BN nên N là trung điểm của AB.

Tương tự, ta có CP = MN = AP, tức P là trung điểm của AC.

c) Tứ giác AMCQ có hai đường chéo AC và MQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, mà QM ⊥ AC nên AMCQ là một hình thoi.

d) Khi AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì $\widehat{ACB}=45°.$

⇒ $\widehat{QCM}=2\widehat{ACB}=90°$ (do AC là một đường chéo của hình thoi AMCQ).

Vậy hình thoi AMCQ có một góc vuông nên là hình vuông.

Vậy khi AB = AC thì tứ giác AMCQ là hình vuông.

Bài 7 trang 67 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M xuống AB (H.3.46).

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Lời giải:

a) Tứ giác BKEN có ba góc vuông N, E, K nên là hình chữ nhật.

b) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK, BN // EK.

⇒ $\widehat{NBM}=\widehat{KCB}$ (hai góc đồng vị). (1)

Ta có $\widehat{MBD}=\widehat{CBK}$ (hai góc đối đỉnh). (2)

Theo giả thiết, tam giác ABC cân tại A ⇒ $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{NBM}=\widehat{DBM}$

Hai tam giác vuông NBM và DBM có: DB là cạnh chung, $\widehat{NBM}=\widehat{DBM}$ (chứng minh trên) nên ∆NBM = ∆DBM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ MN = MD.

Ta có ME – MD = ME – MN = NE = BK (điều phải chứng minh).

Bài 8 trang 68 vở thực hành Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lấy M là điểm trên DH sao cho MD = DH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ADHE là hình thoi.

b) Tứ giác AHBM là hình chữ nhật.

c) Tứ giác ACHM là hình bình hành.

d) Ba đường thẳng MC, DE, AH đồng quy.

Lời giải:

(H.3.47). a) Ta có AE = EC, CH = HB ⇒ HE là đường trung bình của ∆CAB.

⇒ HE // AC, HE = $\frac{1}{2}$AC = AD.

⇒ Tứ giác ADHE là hình bình hành.

∆ABC cân tại A nên AB = AC.

⇒ AE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$AB = AD.

Vậy hình bình hành ADHE có hai cạnh kề nhau bằng nhau nên là hình thoi.

b) Ta có MD = DH, DA = AB nên tứ giác AHBM có hai đường chéo AB và MH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, hơn nữa $\widehat{AHC}=90°,$ suy ra AHBM là hình chữ nhật.

c) Tứ giác AHBM là hình chữ nhật nên AM // BH, AM = BH.

∆ABC cân tại A, AH ⊥ BC nên BH = CH.

Tứ giác ACHM có AM // CH, AM = CH nên là hình bình hành.

d) Tứ giác ACHM là hình bình hành nên MC, AH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tứ giác ADHE là hình thoi nên AH, DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vậy MC, DE, AH cắt nhau tại cùng một điểm nên chúng đồng quy.

Xem thêm Lời giải bài tập Vở thực hành Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: 

Luyện tập chung trang 63

Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Luyện tập chung trang 77