Thực hành 1 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Thực hành 1 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần luợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) CB ⊥ (SAB) và CD ⊥ (SAD) ;

b) HK ⊥ AI .

Lời giải:

a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên A ⊥ BC

Mà ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC

Và AB ∩ SA = {A}

Do đó BC ⊥ (SAB)

Tương tự: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD

Mà ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD

Và AD ∩ SA = {A} .

Do đó CD ⊥ (SAD) .

b) Ta có:

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{CB}\perp \left(\mathrm{SAB}\right)\Rightarrow \mathrm{CB}\perp \mathrm{AH}\\ \mathrm{AH}\perp \mathrm{SB}\\ \mathrm{CB}\cap \mathrm{SB}=\left\{\mathrm{B}\right\}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AH}\perp (SBC)\Rightarrow \mathrm{AH}\perp \mathrm{SC}(1)$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{CD}\perp \left(\mathrm{SAD}\right)\Rightarrow \mathrm{CD}\perp \mathrm{AK}\\ \mathrm{AK}\perp \mathrm{SD}\\ \mathrm{CD}\cap \mathrm{SD}=\left\{\mathrm{D}\right\}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AK}\perp (SDC)\Rightarrow \mathrm{AK}\perp \mathrm{SC}(2)$

Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ (AHK) ⇒ SC ⊥ HK.(3)

Xét ΔSAB và ΔSAD có:

SA chung

AB = AD

$\widehat{\mathrm{SAB}}=\widehat{\mathrm{SAD}}$

Do đó ΔSAB = ΔSAD (c.g.c)

Suy ra SB = SD; $\widehat{\mathrm{ASB}}=\widehat{\mathrm{ASD}}$ (các cạnh và các góc tương ứng)

Xét tam giác SBD:

SB = SD

⇒ ΔSBD cân tại S.

Xét ΔSAH và ΔSAK có:

$\widehat{\mathrm{ASH}}=\widehat{\mathrm{ASK}}$ ; cạnh SA chung ; $\widehat{\mathrm{SHA}}=\widehat{\mathrm{SKA}}$

Do đó ΔSAH = ΔSAH (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra SH = SK (các cạnh tương ứng)

Khi ΔSHK cân tại S nên $\widehat{\mathrm{SHK}}=\widehat{\mathrm{SKH}}$

Ta có: $\widehat{\mathrm{HSK}}=\widehat{\mathrm{BSD}}=180°-2\widehat{\mathrm{HSK}}=180°-2\widehat{\mathrm{BSD}}$

⇒ $\widehat{\mathrm{HSK}}=\widehat{\mathrm{BSD}}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\left.\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{HK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{BD}\\ \mathrm{SA}\perp \mathrm{BD}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{SA}\perp \mathrm{HK}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra HK ⊥ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI .