Bài 3 trang 64 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$ , có các cạnh bên đều bằng 2a .

a) Tính góc giữa SC và AB .

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) .

Lời giải:

a) Ta có: AB // CD $\Rightarrow$ (SC, AB) = (SC, CD) = $\widehat{\mathrm{SCD}}$

Xét ΔSCD , áp dụng định lí cos, ta có :

$\cos \widehat{\mathrm{SCD}}=\frac{{\mathrm{SC}}^2+{\mathrm{CD}}^2-{\mathrm{SD}}^2}{2.\mathrm{SC}.\mathrm{SD}}=\frac{4a^2+2a^2-4a^2}{2.2a.2a}=\frac{1}{4}$

Do đó $\widehat{\mathrm{SCD}}\approx 75,5°$ .

b) Gọi $O=\mathrm{AC}\cap \mathrm{BD}$

Ta có:

ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)

ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)

Do đó O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).

Mà A, B ∈ (ABCD)

Vậy ΔOAB là hình chiếu vuông góc của ΔSAB lên (ABCD).

Ta có: AC = $\sqrt{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}}=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a$

Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.

⇒ $\mathrm{AO}$ = BO = $\frac{\mathrm{AC}}{2}=a$

⇒ $S_{\mathrm{OAB}}=\frac{1}{2}.\mathrm{AO}.\mathrm{BO}=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$ .

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là $\frac{a^2}{2}$ .