Bài 2 trang 64 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 2 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) AC ⊥ (SHK) ;

b) CK ⊥ (SDH) .

Lời giải:

a) Xét tam giác ADB:

H là trung điểm AB

K là trung điểm AD

⇒ HK là đường trung bình của ΔADB.

$\left.\begin{array}{c}\Rightarrow \mathrm{HK} // \mathrm{BD}\\ \mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}\end{array}\right\}\Rightarrow \text{AC}\perp \text{HK}$

Ta có:

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{AC}\perp \mathrm{HK}\\ \mathrm{SH}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)\Rightarrow \mathrm{SH}\perp \mathrm{AC}\end{array}\right\}\Rightarrow \text{AC}\perp \left(\text{SHK}\right)$

b) Gọi $I=\mathrm{CK}\cap \mathrm{DH}$

Xét ΔAHD và ΔDKC:

AH = DK

$\widehat{\mathrm{HAD}}=\widehat{\mathrm{KDC}}$

AD = CD

⇒ ΔAHD = ΔDKC (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{HDA}}=\widehat{\mathrm{KCD}}$

Ta có: $\widehat{\mathrm{DKC}}+\widehat{\mathrm{KCD}}=90°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{DKC}}+\widehat{\mathrm{HDA}}=90°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{DKI}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{KDC}}+\widehat{\mathrm{HDA}}\right)=90°$⇒ DH ⊥ CK

Mà SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CK

Vậy CK ⊥ (SDH).