Bài 5 trang 64 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 5 trang 64 Toán 11 Tập 2: Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết AB = AC = 2,4 m; BC = 2 m; AA′ = 3 m

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC; A ′B′ và AC.

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB ′CC′ ) .

Lời giải:

a) + Vì AA′ // BB ′ nên (AA′, BC) = (BB′, BC) = $\widehat{B\text{'}\mathrm{BC}}$

Ta có: AA ′ ⊥ (ABC), AA′ // BB ′ ⇒ BB ′ ⊥ (ABC) hay BB ′ ⊥ BC

⇒ $\widehat{B\text{'}\mathrm{BC}}=90°$

+ Vì A′B′ // AB nên (A ′B′, AC) = (AB, AC) = $\widehat{\mathrm{BAC}}$

ΔABC có:

$\cos \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2.\mathrm{AB}.\mathrm{AC}}=\frac{5.76+5,76-4}{2.2,4.2,4}=\frac{47}{72}$

⇒ $\widehat{\mathrm{BAC}}\approx 49,2°$

b) Kẻ AK ⊥ BC. Mà AA ′ ⊥ (ABC), AA ′ // BB′

⇒ BB ′ ⊥ (ABC)

⇒ BB ′ ⊥ AK (1)

Ta có: AK ⊥ BC; BC // B′C' ⇒ AK ⊥ B′C′ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AK ⊥ (BB′C′C)

⇒ K là hình chiếu vuông góc của A trên (BB ′ C ′ C)

Mà B, B ′ ∈ (BB ′ C ′ C)

Vậy ΔKBB ′ là hình chiếu vuông góc của ΔABB ′ lên (BB ′C′C ).

Ta có: ΔABC cân tại A có AK ⊥ BC K là trung điểm của BC

⇒ KB = KC = $\frac{\mathrm{BC}}{2}=1$

⇒ $S_{\mathrm{KBB}\text{'}}=\frac{1}{2}.\mathrm{BB}\text{'}.\mathrm{BK}=\frac{3}{2}$ .

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB′CC′ ) là $\frac{3}{2}$ .