Giải Toán 11 trang 79 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 79 trong Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 79.

1 348 29/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 79 Tập 1

Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 2} (x^{2} - 7 x + 4)$ ;

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9}$ ;

c) $\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{x + 8}}{x - 1}$ .

Lời giải:

$\lim_{x \to - 2} (x^{2} - 7 x + 4) = \lim_{x \to - 2} x^{2} - 7. \lim_{x \to - 2} x + \lim_{x \to - 2} 4 = 4 - 7. (- 2) + 4 = 22$ .

b) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}$

$\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{x + 8}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(3 - \sqrt{x + 8}) (3 - + \sqrt{x + 8})}{(x - 1) (3 - \sqrt{x + 8})} = \lim_{x \to 1} \frac{9 - x - 8}{(x - 1) (3 + \sqrt{x + 8})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{- 1}{3 + \sqrt{x + 8}} = - \frac{1}{6}$ .

Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm các giới hạn sau: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x); \lim_{x \to 1^{-}} f (x); \lim_{x \to 1} f (x)$ (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = $- x_{n}^{2}$ nên limf(x_n) = $\lim (- x_{n}^{2}) = - 1$ .

Vì vậy $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - 1$ .

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = x_n nên limf(x_n) = lim(x_n) = 1.

Vì vậy $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 1$ .

+) Vì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ .

Bài 3 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 3}{2 x}$ ;

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{2}{3 x + 1}$ ;

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 3}{2 x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{2} = 2$ .

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{2}{3 x + 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2}{x}}{3 + \frac{1}{x}} = 0$ .

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$ .

Bài 4 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{1}{x + 1}$ ;

b) $\lim_{x \to - \infty} (1 - x^{2})$ ;

c) $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x}{3 - x}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 0$ ;

b) Ta viết: $1 - x^{2} = x^{2} . (\frac{1}{x^{2}} - 1)$

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} x^{2} = + \infty; \lim_{x \to - \infty} (\frac{1}{x^{2}} - 1) = - 1$

Do đó: $\lim_{x \to - \infty} (1 - x^{2}) = \lim_{x \to - \infty} x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - 1) = - \infty$ .

c) Ta viết: $\frac{x}{3 - x} = x . \frac{1}{3 - x}$

Ta có: $\lim_{x \to 3^{+}} x = 3; \lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{3 - x} = + \infty$

Do đó: $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x}{3 - x} = \lim_{x \to 3^{+}} (x . \frac{1}{3 - x}) = \lim_{x \to 3^{+}} x . \lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{3 - x} = + \infty$ .

Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1: Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C (t) = \frac{30 t}{400 + t}$ (gam/lít).

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Lời giải:

a) Sau t phút số lít nước biển bơm vào là: 15t (lít).

Khi đó số gam muối trong 15t lít nước biển là: 30.15t (gam).

Tổng số lít nước trong hồ là: 6000 + 15t (lít).

Nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C (t) = \frac{30.15 t}{6000 + 15 t} = \frac{30 t}{400 + t}$ (gam/lít).

b) Khi t → +∞ thì $\lim_{t \to + \infty} C (t) = \lim_{t \to + \infty} \frac{30 t}{400 + t} = \lim_{t \to + \infty} \frac{30}{\frac{400}{t} + 1} = 30$ .

Vậy nồng độ muối trong hồ gần đến 30gam/lít khi t → +∞.

Bài 6 trang 79 Toán 11 Tập 1: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức $\frac{1}{d} + \frac{1}{d'} = \frac{1}{f}$ hay $d' = \frac{d f}{d - f}$ .

Xét hàm số $g (d) = \frac{d f}{d - f}$ . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\lim_{d \to f^{+}} g (d)$ ;

b) $\lim_{d \to + \infty} g (d)$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\lim_{d \to f^{+}} g (d) = \lim_{d \to f^{+}} \frac{d f}{d - f} = \lim_{d \to f^{+}} d f . \lim_{d \to f^{+}} \frac{1}{d - f} = + \infty$ .