Giải Toán 11 trang 109 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 109 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 109.

1 401 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 109

Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{n \to + \infty} (n - \sqrt{n})$ .

Lời giải:

Ta có: $n - \sqrt{n} = n (1 - \frac{1}{\sqrt{n}})$ . Hơn nữa $\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$ và $\lim_{n \to + \infty} (1 - \frac{1}{\sqrt{n}}) = 1$ .

Do đó, $\lim_{n \to + \infty} (n - \sqrt{n}) = + \infty$ .

Bài tập

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$ .

Lời giải:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} (1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

b) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{(n^{2} + 2 n) - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n}$

$= \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} (1 + \frac{2}{n})} + n}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n}$

$= \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n (\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1)}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1} + 1} = 1$ .

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ và $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ . Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}^{2}}{v_{n} - u_{n}}$ ;

b) $\lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n} + 2 v_{n}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ , do đó, $\lim_{n \to + \infty} u_{n}^{2} = \lim_{n \to + \infty} (u_{n} . u_{n}) = 2.2 = 4$ .

Và $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ nên $\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = 3 - 2 = 1$ .

Vậy $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}^{2}}{v_{n} - u_{n}} = \frac{4}{1} = 4$ .

b) Ta có: $\lim_{n \to + \infty} 2 = 2$ và $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ , do đó, $\lim_{n \to + \infty} (2 v_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (2. v_{n}) = 2.3 = 6$ .

Và $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ nên $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + 2 v_{n}) = 2 + 6 = 8$ .

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n và $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + 2 v_{n}) = 8 > 0$ .

Do đó, $\lim_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n} + 2 v_{n}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1}$ ;

b) $v_{n} = \sqrt{2 n^{2} + 1} - n$ .

Lời giải:

a) $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1}$

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1}$ $= \frac{1 + \frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}}$ .

Vì $\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n^{2}}) = 1 > 0$ , $\lim_{n \to + \infty} (\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 0$ và $\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}} > 0$ với mọi n nên

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1} = + \infty$ .

b) $v_{n} = \sqrt{2 n^{2} + 1} - n$

Ta có: $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\sqrt{2 n^{2} + 1} - n)$ $= \lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})} - n)$

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}} - 1) = \sqrt{2} - 1 > 0$ và $\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$ .

Nên Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vậy $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\sqrt{2 n^{2} + 1} - n) = + \infty$ .

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Lời giải:

a) Ta có: 1,(12) = 1,121212... = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= 1 + 12 . 10^-2 + 12 . 10^-4 + 12 . 10^-6 + ...

= 1 + 12 . (10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...)

Do 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-2 và q = 10^-2 nên

10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... = $\frac{10^{- 2}}{1 - 10^{- 2}} = \frac{1}{99}$ .

Vậy 1,(12) = $1 + 12. \frac{1}{99} = \frac{33}{33} + \frac{4}{33} = \frac{37}{33}$ .

b) Ta có: 3,(102) = 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 + ...

= 3 + 102 . 10^-3 + 102 . 10^-6 + 102 . 10^-9 + ...

= 3 + 102 . (10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ...)

Do 10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-3 và q = 10^-3 nên

10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... = $\frac{10^{- 3}}{1 - 10^{- 3}} = \frac{1}{999}$ .

Vậy 3,(102) = 3 + $102. \frac{1}{999} = 3 + \frac{34}{333} = \frac{1033}{333}$ .

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Lời giải:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

150 + 150(1 + 0,05) . 5% = 150 + 150(0,05 + 0,05²) = 150(1 + 0,05 + 0,05²)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,05²) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴)

= 157,8946875 (mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

S = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ...)

Lại có 1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 0,05.

Do đó, 1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ... = $\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - 0, 05} = \frac{20}{19}$ .

Suy ra S = $150 \cdot \frac{20}{19} = \frac{400}{361}$ .

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Lời giải:

Tam giác AA₁B vuông tại A₁ có AB = h và .

Do đó, AA₁ = AB sinB = h sin α.

Ta có: $\hat{B} + \hat{B A A_{1}} = 90 °$ và $\hat{A_{1} A A_{2}} + \hat{B A A_{1}} = 90 °$ , suy ra $\hat{A_{1} A A_{2}} = \hat{B} = α$ .

Tam giác AA₁A₂ vuông tại A₂ nên A₁A₂ = AA₁ sin $\hat{A_{1} A A_{2}}$ = h sin α . sin α = h sin² α.

Vì AB ⊥ AC và A₁A₂ ⊥ AC nên AB // A₁A₂, suy ra $\hat{A_{2} A_{1} A_{3}} = \hat{B} = α$ (2 góc đồng vị).

Tam giác A₁A₂A₃ vuông tại A₃ nên A₂A₃ = A₁A₂ . sin $\hat{A_{2} A_{1} A_{3}}$ = h sin² α . sin α = h sin³ α.

Vì AA₁ ⊥ BC và A₂A₃ ⊥ BC nên AA₁ // A₂A₃, suy ra $\hat{A_{3} A_{2} A_{4}} = \hat{A_{1} A A_{2}} = α$ .

Tam giác A₂A₃A₄ vuông tại A₄ nên A₃A₄ = A₂A₃ . sin $\hat{A_{3} A_{2} A_{4}}$ = h sin³ α . sin α = h sin⁴ α.

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được A_{n – 1}A_n = h sinⁿ α.

Ta có: AA₁A₂A₃... = AA₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_{n – 1}A_n + ...

= h sin α + h sin² α + h sin³ α + ... + h sinⁿ α + ...

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁= h sin α và công bội q = sin α.

Do đó, AA₁A₂A₃... = $\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{h \sin α}{1 - \sin α}$ .

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 105

Giải Toán 11 trang 106

Giải Toán 11 trang 107

Giải Toán 11 trang 108

Giải Toán 11 trang 109

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ ...

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n}} = 0$ ...

HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n}$ . Xét dãy số (v_n) xác định bởi v_n = u_n – 1...

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}}$ . Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ ...

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó...

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn. Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}, v_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ ...

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1}$ ...

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau...

Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + ... + \frac{2}{7^{n - 1}} + ...$

Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: (Giải thích nghịch lí Zeno) Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h...

HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Nhận biết giới hạn vô cực. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi...

Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{n \to + \infty} (n - \sqrt{n})$ ...

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ ;...

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ và $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ . Tìm các giới hạn sau...

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: a) $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1}$ ;...

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 1,(12) = 1,121212...

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%...

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC...

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

1 401 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3