Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 493 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Tam giác AA₁B vuông tại A₁ có AB = h và .

Do đó, AA₁ = AB sinB = h sin α.

Ta có: $\hat{B} + \hat{B A A_{1}} = 90 °$ và $\hat{A_{1} A A_{2}} + \hat{B A A_{1}} = 90 °$ , suy ra $\hat{A_{1} A A_{2}} = \hat{B} = α$ .

Tam giác AA₁A₂ vuông tại A₂ nên A₁A₂ = AA₁ sin $\hat{A_{1} A A_{2}}$ = h sin α . sin α = h sin² α.

Vì AB ⊥ AC và A₁A₂ ⊥ AC nên AB // A₁A₂, suy ra $\hat{A_{2} A_{1} A_{3}} = \hat{B} = α$ (2 góc đồng vị).

Tam giác A₁A₂A₃ vuông tại A₃ nên A₂A₃ = A₁A₂ . sin $\hat{A_{2} A_{1} A_{3}}$ = h sin² α . sin α = h sin³ α.

Vì AA₁ ⊥ BC và A₂A₃ ⊥ BC nên AA₁ // A₂A₃, suy ra $\hat{A_{3} A_{2} A_{4}} = \hat{A_{1} A A_{2}} = α$ .

Tam giác A₂A₃A₄ vuông tại A₄ nên A₃A₄ = A₂A₃ . sin $\hat{A_{3} A_{2} A_{4}}$ = h sin³ α . sin α = h sin⁴ α.

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được A_{n – 1}A_n = h sinⁿ α.

Ta có: AA₁A₂A₃... = AA₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_{n – 1}A_n + ...

= h sin α + h sin² α + h sin³ α + ... + h sinⁿ α + ...

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁= h sin α và công bội q = sin α.

Do đó, AA₁A₂A₃... = $\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{h \sin α}{1 - \sin α}$ .

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ ...

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n}} = 0$ ...

HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n}$ . Xét dãy số (v_n) xác định bởi v_n = u_n – 1...

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}}$ . Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ ...

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó...

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn. Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}, v_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ ...

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1}$ ...

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau...

Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + ... + \frac{2}{7^{n - 1}} + ...$

Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: (Giải thích nghịch lí Zeno) Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h...

HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Nhận biết giới hạn vô cực. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi...

Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{n \to + \infty} (n - \sqrt{n})$ ...

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ ;...

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ và $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ . Tìm các giới hạn sau...

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: a) $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1}$ ;...

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 1,(12) = 1,121212...

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%...

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC...

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

1 493 04/06/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: