Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$;

b) $v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$.

Lời giải:

a) $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$$=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}$.

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1>0$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=0$ và $\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}>0$ với mọi n nên

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n-1}=+\infty$.

b) $v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+1}-n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}-n\right)$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-1\right)=\sqrt{2}-1>0$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$.

Nên 

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+1}-n\right)=+\infty$.