Giải Toán 10 trang 52 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 52 Tập 2

Luyện tập 4 trang 52 Toán 10 Tập 2:

Cho (H) : $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H)

Lời giải

Xét phương trình hypebol (H): $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\iff \frac{x^2}{{12}^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$

⇒ a = 12, b = 5

Ta có: c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}$ = $\sqrt{169}$ = 13.

Vậy (H) có tiêu điểm  F₁(−13; 0)  và F₂(13; 0)

Tiêu cự: F₁F₂ = 2c = 2.13 = 26.

Hoạt động trang 52 Toán 10 Tập 2:

Cho parabol (P): y = $\frac{1}{4}{x}^2$. Xét F(0; 1) và đường thẳng ∆: y + 1 = 0 . Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, ∆) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{FM}=\left(x;y-1\right)$ ⇒ MF = $\sqrt{x^2+{(y-1)}^2}$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là: d(M, ∆) = $\frac{\left|y+1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|y+1\right|$.

* Với điểm M(x; y) bất kì, giả sử MF = d(M, ∆) ta cần chứng minh M thuộc (P)

Theo giả thiết ta có: MF = d(M, ∆)

⇒$\sqrt{x^2+{(y-1)}^2}$ = $\left|y+1\right|$

⇒ x² + (y – 1)² = (y + 1)²

⇔ x² + [(y – 1)² –  (y + 1)² ]= 0

⇔ x² + (y – 1 – y – 1)(y – 1 + y + 1) = 0

⇔ x² – 4y = 0 hay y = $\frac{1}{4}{x}^2$

⇒ M (x; y) ∈ (P) (đpcm)

* Với điểm M(x; y) bất kì, giả sử M thuộc (P) ta cần chứng minh MF = d(M, ∆)

Theo giả thiết ta có: M (x; y) ∈ (P) nên y = $\frac{1}{4}{x}^2$⇒ x² = 4y

⇒ MF = $\sqrt{x^2+{(y-1)}^2}$

           = $\sqrt{4y+y^2-2y+1}$

           =$\sqrt{y^2+2y+1}$ 

= $\sqrt{{(y+1)}^2}$

= $\left|y+1\right|$= d(M, ∆)

Do đó MF = d(M, ∆) (đpcm).

Hoạt động 5 trang 52 Toán 10 Tập 2:

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên ∆. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF( H.7.27)

a) Nêu toạ độ của F và phương trình của ∆

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$

 

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có: HF = p và O là trung điểm của HF nên F$\left(\frac{p}{2};0\right)$và H$\left(-\frac{p}{2};0\right)$

Đường thẳng ∆ đi qua điểm H$\left(-\frac{p}{2};0\right)$ và nhận vectơ đơn vị của trục Ox là$\overrightarrow{i}$(1; 0) là vectơ pháp tuyến, do đó phương trình ∆ là: 1.$\left(x+\frac{p}{2}\right)$+ 0.(y – 0) = 0 hay $x+\frac{p}{2}$ = 0.

Vậy F$\left(\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn ∆ là: $x+\frac{p}{2}$ = 0.

b)

Ta có: $\overrightarrow{FM}\left(x-\frac{p}{2};y\right)$ ⇒ MF = $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$

Ta lại có: d(M, ∆) = $\frac{\left|x+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$=$\left|x+\frac{p}{2}\right|$

* Giả sử điểm M(x; y) thuộc (P) ta cần chứng minh: $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$ 

Theo giả thiết ta có điểm M(x; y) thuộc (P) nên điểm M cách đều F và ∆

⇒ MF = d(M, ∆)

⇒$\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$= $\left|x+\frac{p}{2}\right|$(đpcm)

* Giả sử  với điểm M(x; y) và $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$ ta cần chứng minh: M(x; y) thuộc (P)

Theo giả thiết ta có: $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

⇒ MF = d(M, ∆) hay điểm M cách đều F và ∆

⇒ M(x; y) thuộc (P). (đpcm)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Giải Toán 10 trang 50 Tập 2

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Giải Toán 10 trang 52 Tập 2

Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8