Giải Toán 10 trang 51 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 Tập 2:

Cho hình chữ nhật ABCD và M; N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB; CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N

 

Lời giải

Xét tam giác MNB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: $\left|BM-BN\right|$<  MN

Chứng minh tương tự ta được:

$\left|AM-AN\right|$<  MN

$\left|CM-CN\right|$<  MN

$\left|DM-DN\right|$<  MN

Mặt khác , ta có: ABCD là hình chữ nhật và M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; CD

Nên $\left|BM-BN\right|$ = $\left|AM-AN\right|$ = $\left|CM-CN\right|$ = $\left|DM-DN\right|$ < MN.

⇒ Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Hoạt động 4 trang 51 Toán 10 Tập 2:

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu điểm F₁; F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

$\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|=2a$

 

Lời giải

a) Vì F₁F₂ = 2c và O là trung điểm của F₁F₂ nên F₁ (−c; 0); F₂(c; 0).

Vậy F₁ (−c; 0); F₂(c; 0).

b)

* Giả sử điểm M(x; y) thuộc (H) ta cần chứng minh:   

$\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|=2a$

Ta có:

$\overrightarrow{M{F}_1}=\left(-c;0\right)$ ⇒ MF₁ = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$

$\overrightarrow{M{F}_2}=\left(c;0\right)$⇒ MF₂ = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$

Vì điểm M thuộc (E) nên ta có : $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|$= 2a

⇔ $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|=2a$(1)

* Giả sử với điểm M(x; y) và $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|=2a$ ta cần chứng minh M ∈ (H)

Theo giả thiết ta có: $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|=2a$

Mà: MF₁ = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$, MF₂ = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$

⇒ $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|$= 2a

Theo định nghĩa điểm M thuộc hypebol. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Giải Toán 10 trang 50 Tập 2

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Giải Toán 10 trang 52 Tập 2

Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8