Giải Toán 10 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Câu hỏi trang 49 Toán 10 Tập 2:

Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Lời giải:

Xét tam giác MF₁F₂, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: MF₁ + MF₂ > F₁F₂

Mà MF₁ + MF₂ = 2a và F₁F₂ = 2c nên 2a > 2c ⇒ a > c.

Luyện tập 1 trang 49 Toán 10 Tập 2:

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi vào thành bàn, bi sẽ lật lại và chạy về lỗ thu( bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Lời giải

 

Theo giả thiết ta có vị trí của viên bi và lỗ thu bi lần lượt tại hai tiêu điểm F₁; F₂ của hình elip.

Khi được tác động một lực đủ mạnh thì viên bi đi từ tiêu điểm F₁ đến một điểm trên thành bàn ta gọi điểm đó là M , rồi bật lại chạy về lỗ thu là tiêu điểm F₂. Do đó, quãng đường đi của viên bi là: MF₁ + MF₂.

Theo định nghĩa đường elip thì MF₁ + MF₂ = 2a là giá trị không đổi.

Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Hoạt động 2 trang 49 Toán 10 Tập 2:

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21)

a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm F₁; F₂

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}=2a$

 

Lời giải:

a) Vì F₁F₂ = 2c và O là trung điểm của F₁F₂ nên F₁ (−c; 0); F₂(c; 0).

b)

* Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip ta cần chứng minh:  

$\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}=2a$

Ta có: $\overrightarrow{F_{1}M}=\left(x+c;y\right)$ ⇒ MF₁ = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$

$\overrightarrow{F_{2}M}=\left(x-c;y\right)$ ⇒ MF₂ = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$

Vì điểm M thuộc (E) nên ta có : MF₁ + MF₂ = 2a

⇔ $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}=2a$. (1)

* Giả sử với điểm M(x; y) và $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}=2a$ ta cần chứng minh M ∈ (E)

Theo giả thiết ta có: $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}=2a$

Mặt khác, ta có:

$\overrightarrow{F_{1}M}=\left(x+c;y\right)$ ⇒ MF₁ = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$

$\overrightarrow{F_{2}M}=\left(x-c;y\right)$ ⇒ MF₂ = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$

⇒ MF₁ + MF₂ = 2a

Do đó điểm M thuộc elip. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}=2a$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Giải Toán 10 trang 50 Tập 2

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Giải Toán 10 trang 52 Tập 2

Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8