Giải Toán 10 trang 56 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Vận dụng 3 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{76}=1$(theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

 

Lời giải

Xét phương trình elip: $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{76}=1\iff \frac{x^2}{{20}^2}+\frac{y^2}{{\left(\sqrt{76}\right)}^2}=1$

⇒ a = 20, b = $\sqrt{76}$

⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{400-76}=18$

Theo giả thiết ta có vị trí của đầu phát sóng và vị trí sỏi thận lần lượt là hai tiêu điểm F₁ ; F₂ của elip.

Vậy khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự F₁F₂ = 2c = 2.18 = 36(cm).

B. Bài tập

Bài 7.19 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Lời giải

Xét phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$

⇒ a²= 36, b² = 9.

Ta có: c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{36-9}$= 3$\sqrt{3}$

Suy ra tiêu điểm F₁(−3$\sqrt{3}$; 0); F₂(3$\sqrt{3}$; 0), tiêu cự F₁F₂ = 2c = 2.3$\sqrt{3}$= 6$\sqrt{3}$.

Vậy tiêu điểm của elip lần lượt là F₁(−3$\sqrt{3}$; 0); F₂(3$\sqrt{3}$; 0) và tiêu cực F₁F₂ = 6$\sqrt{3}$.

Bài 7.20 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Cho hypebol có phương trình $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Lời giải

Xét phương trình $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$ có a² = 7, b² = 9

Ta có: c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{7+9}$= 4.

Vậy tiêu điểm F₁(−4; 0) ; F₂(4; 0), tiêu cự F₁F₂ = 2c = 2.4 = 8.

Bài 7.21 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol

Lời giải

Ta có: y² = 8x hay y² = 2.4.x ⇒ p = 4

Parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = −2.

Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x + 2 = 0.

Bài 7.22 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0).

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm có dạng : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 1)

Vì điểm A(5; 0) ∈ (E) nên $\frac{5^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ $\frac{25}{a^2}=1$ ⇒ a² = 25 ⇒ a = 5

Mặt khác ta có F₂(3; 0) hay c = 3 ⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}$=$\sqrt{5^2-3^2}$= 4

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là : $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Bài 7.23 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4)

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm có dạng : $y^2=2px$(p > 0)

Vì điểm M(2; 4) ∈ (P) ⇒ $4^2=2p.2$⇒ 2p = 8

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là : $y^2=8x$.

Bài 7.24 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của AB; tia Ox trùng với tia OB

 

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần tìm có dạng : $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Ta có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B lần lượt là hai tiêu điểm của hypebol cần tìm ⇒ AB = 2c = 300 ⇒ c = 150

Nên tọa độ hai điểm là: A(-150; 0) và B(150; 0)

Khi đó ta xem vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm lần lượt là A và B.

Giả sử t (s) là thời gian tín hiệu từ A đến tàu.

Khi đó thời gian tín hiệu từ B đến tàu là: t + 0,0005(s).

Khoảng cách từ M đến A là: MA = 292 000t (km).

Khoảng cách từ M đến B là: MB = 292 000(t + 0,0005) (km).

⇒ $\left|MA-MB\right|$=$\left|292000t-292000(t+\mathrm{0,0005})\right|$

= $\left|-\mathrm{292000.0,0005}\right|$ = 146

Mà |MA – MB| = 2a nên 2a = 146 ⇒ a = 73

⇒ b² = c² – a² = 150² – 73² = 17171

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm có dạng : $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{17171}=1$.

Bài 7.25 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Khúc cua của một con đường có dạng hình hypebol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc cua cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B (H.7.34)

a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng 1 km trên thực tế.

 

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc toạ độ O trùng với đỉnh của Parabol

 

 

a) Với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng 1 m trên thực tế, khi đó toạ độ điểm A(20; -200) và B ( 20; 200)

Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm có dạng: $y^2=2px$

Vì B ∈ (P) nên ${200}^2=2p.20$⇒ 2p = 200² : 20 = 2000

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là : y² = 2000x.

b) Với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng 1 km trên thực tế, khi đó toạ độ điểm A(0,02; -0,2) và B (0,02; 0,2)

Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm có dạng: $y^2=2px$.

Vì B ∈ (P) nên ${\mathrm{0,2}}^2=2p\mathrm{.0,02}$⇒ 2p = 0,2² : 0,02 = 2

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là : $y^2=2x$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Giải Toán 10 trang 50 Tập 2

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Giải Toán 10 trang 52 Tập 2

Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8