Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2

Lời giải Bài 7.22 trang 56 Toán 10 Tập 2 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

1 33,954 19/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 22: Ba đường Conic

Bài 7.22 trang 56 Toán 10 Tập 2:

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0).

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm có dạng : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 1)

Vì điểm A(5; 0) ∈ (E) nên $\frac{5^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ $\frac{25}{a^{2}} = 1$ ⇒ a² = 25 ⇒ a = 5

Mặt khác ta có F₂(3; 0) hay c = 3 ⇒ b = $\sqrt{a^{2} - c^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - 3^{2}}$ = 4

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là : $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

*Phương pháp giải:

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_{1}$ và $F_{2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_{1} F_{2}$ . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ .

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_{1}$ và $F_{2}$ . Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ . Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_{1}$ (-c; 0) và $F_{2}$ (c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in (E) \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . (1) với $b^{2} = a^{2} - c^{2}$

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$

+ Tâm sai của (E): $e = \frac{c}{a} < 1$

+ $b^{2} = a^{2} - c^{2}$

*Lý thuyết:

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_{1}$ và $F_{2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_{1} F_{2}$ . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ .

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_{1}$ và $F_{2}$ . Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ . Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_{1}$ (-c; 0) và $F_{2}$ (c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in (E) \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . (1) với $b^{2} = a^{2} - c^{2}$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: $F_{1}$ (-c; 0) và $F_{2}$ (c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_{1}$ (-a; 0), $A_{2}$ (a; 0), $B_{1}$ (0; -b) và $B_{2}$ (0; b)

+ Độ dài trục lớn: $A_{1} A_{2} = 2 a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_{1} B_{2} = 2 b$

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$

+ Tâm sai của (E): $e = \frac{c}{a} < 1$

+ $b^{2} = a^{2} - c^{2}$

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_{1}$ và $F_{2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_{1} F_{2}$ . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ .

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_{1}$ và $F_{2}$ . Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ . Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_{1}$ (-c; 0) và $F_{2}$ (c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in (E) \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . (1) với $b^{2} = a^{2} - c^{2}$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

Xem thêm

Công thức phương trình chính tắc của Elip, các dạng bài tập và cách giải

Trắc nghiệm Phương trình elip có đáp án – Toán lớp 10

*Lý thuyết:

Xem thêm

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 48 Toán 10 Tập 2: Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁; F₂ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁; F₂...

Câu hỏi trang 49 Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c...

Luyện tập 1 trang 49 Toán 10 Tập 2: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi...

Hoạt động 2 trang 49 Toán 10 Tập 2: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂...

Luyện tập 2 trang 50 Toán 10 Tập 2: Cho elip có phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{100}$ + $\frac{y^{2}}{64}$ =1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip...

Vận dụng 1 trang 50 Toán 10 Tập 2: Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip...

Hoạt động 3 trang 50 Toán 10 Tập 2: Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343 m/s...

Câu hỏi trang 50 Toán 10 Tập 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c...

Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD và M; N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB; CD...

Hoạt động 4 trang 51 Toán 10 Tập 2: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm F₁F₂...

Luyện tập 4 trang 52 Toán 10 Tập 2: Cho (H): $\frac{x^{2}}{144}$ - $\frac{y^{2}}{25}$ =1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của H...

Hoạt động trang 52 Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P): y = $\frac{1}{4} x^{2}$ . Xét F(0; 1) và đường thẳng $∆$ : y + 1 = 0...

Hoạt động 5 trang 52 Toán 10 Tập 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn đenta. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc...

Vận dụng 2 trang 53 Toán 10 Tập 2: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo...

Vận dụng 3 trang 56 Toán 10 Tập 2: Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{400}$ + $\frac{y^{2}}{76}$ =1...

Bài 7.19 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{36}$ + $\frac{y^{2}}{9}$ =1. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip...

Bài 7.20 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{7}$ - y^2/9 =1. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol...

Bài 7.21 trang 56 Toán 10 Tập 2: Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol...

Bài 7.22 trang 56 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂...

Bài 7.23 trang 56 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4...

Bài 7.24 trang 56 Toán 10 Tập 2: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu...

Bài 7.25 trang 56 Toán 10 Tập 2: Khúc cua của một con đường có dạng hình hypebol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

1 33,954 19/11/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: