Giải Toán 10 trang 103 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 103 Tập 2

Bài 1 trang 103 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 4); B(2; 5). Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ là:

A. (1; –1).           

B. (1; 1).             

C. (– 1; 1).               

D. (– 1; – 1).

Lời giải

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2-3;5-4\right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1\right)$.

Bài 2 trang 103 Toán 10 Tập 2: Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: 2x – 3y + 4 = 0?

A. $\overrightarrow{n_1}=\left(3;2\right)$.

B. $\overrightarrow{n_2}=\left(2;3\right)$.

C. $\overrightarrow{n_3}=\left(3;-2\right)$.

D. $\overrightarrow{n_4}=\left(2;-3\right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D.

Đường thẳng ∆: 2x – 3y + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)$.

Bài 3 trang 103 Toán 10 Tập 2: Tọa độ tâm I của đường tròn (C): (x + 6)² + (y – 12)² = 81 là:

A. (6; – 12).              

B. (– 6; 12).              

C. (– 12; 6).              

D.(12; – 6).

Lời giải

Đáp án đúng là: B.

Ta có: (x + 6)² + (y – 12)² = 81

⇔ [x – (– 6)]² + (y – 12)² = 9².

Vậy đường tròn (C) có tâm I(– 6; 12).

Bài 4 trang 103 Toán 10 Tập 2: Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng Δ: 3x + 4y + 13 = 0 bằng:

A. 1.                      

B. 2.                       

C. 3.                      

 D. 4.

Lời giải

Đáp án đúng là: D.

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng Δ: 3x + 4y + 13 = 0 là

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|3.1+4.1+13\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}=4$.

Bài 5 trang 103 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M(2; 1), N(– 1; 3), P(4; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$;

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$;

c) Tính độ dài các đoạn thẳng MN, MP;

d) Tính $cos\widehat{NMP}$;

e) Tìm tọa độ trung điểm I của NP và trọng tâm G của tam giác MNP.

Lời giải

a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ chính là tọa độ của điểm M(2; 1) nên $\overrightarrow{OM}=\left(2;1\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(-1-2;3-1\right)$, suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(-3;2\right)$.

Và $\overrightarrow{MP}=\left(4-2;2-1\right)$, suy ra $\overrightarrow{MP}=\left(2;1\right)$.

b) $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}=\left(-3\right).2+2.1=-6+2=-4$.

c) Độ dài đoạn thẳng MN là:

$MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}=\sqrt{13}$.

Độ dài đoạn thẳng MP là:

$MP=\left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.

d) Ta có: $cos\widehat{NMP}=cos\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right)$$=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{MP}\right|}=\frac{-4}{\sqrt{13}.\sqrt{5}}=\frac{-4\sqrt{65}}{65}$.

Vậy $cos\widehat{NMP}=\frac{-4\sqrt{65}}{65}$.

e) Tọa độ trung điểm I của NP là $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_N+x_P}{2}=\frac{\left(-1\right)+4}{2}=\frac{3}{2}\\ y_I=\frac{y_N+y_P}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$.

Vậy $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$.

Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}=\frac{2+\left(-1\right)+4}{3}=\frac{5}{3}\\ y_G=\frac{y_M+y_N+y_P}{3}=\frac{1+3+2}{3}=\frac{6}{3}=2\end{array}\right.$ .

Vậy $G\left(\frac{5}{3};2\right)$.

Bài 6 trang 103 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(– 3; 2) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)$;

b) d đi qua điểm B(– 2; – 5) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-7;6\right)$;

c) d đi qua hai điểm C(4; 3) và D(5; 2).

Lời giải

a) + Đường thẳng d đi qua điểm A(– 3; 2) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

2[x – (– 3)] – 3(y – 2) = 0 hay 2x – 3y + 12 = 0.

 + Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)$ suy ra d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(3;2\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=-3+3t\\ y=2+2t\end{array}\right.$ (t là tham số).

b) + Đường thẳng d đi qua điểm B(– 2; – 5) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-7;6\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=-2-7t\\ y=-5+6t\end{array}\right.$ (t là tham số).

+ Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-7;6\right)$ nên d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(6;7\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

6(x + 2) + 7(y + 5) = 0 hay 6x + 7y + 47 = 0.

c) Ta có: $\overrightarrow{CD}=\left(5-4;2-3\right)$, suy ra $\overrightarrow{CD}=\left(1;-1\right)$.

+ Đường thẳng d đi qua 2 điểm C, D nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CD}=\left(1;-1\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=3-t\end{array}\right.$ (t là tham số).

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1\right)$ nên d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

1(x – 4) + 1(y – 3) = 0 hay x + y – 7 = 0.

Bài 7 trang 103 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(– 4; 2) và bán kính R = 3;

b) (C) có tâm P(3; – 2) và đi qua điểm E(1; 4);

c) (C) có tâm Q(5; – 1) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + 4y – 1 = 0;

d) (C) đi qua ba điểm A(– 3; 2), B(– 2; – 5) và D(5; 2).

Lời giải

a) Đường tròn (C) có tâm I(– 4; 2) và bán kính R = 3.

Vậy phương trình đường tròn (C) là

[x – (– 4)]² + (y – 2)² = 3² hay (x + 4)² + (y – 2)² = 9.

b) Đường tròn (C) có tâm P(3; – 2) và đi qua điểm E(1; 4).

Do đó bán kính đường tròn (C) là

R = PE = $\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{40}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là

${\left(x-3\right)}^2+{\left[y-\left(-2\right)\right]}^2={\left(\sqrt{40}\right)}^2$ hay (x – 3)² + (y + 2)² = 40.

c) Đường tròn (C) có tâm Q(5; – 1) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + 4y – 1 = 0.

Do đó bán kính của đường tròn (C) là

R = d(Q, ∆) = $\frac{\left|3.5+4.\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là

(x – 5)² + [y – (– 1)]² = 2² hay (x – 5)² + (y + 1)² = 4.

d) Đường tròn (C) đi qua ba điểm A(– 3; 2), B(– 2; – 5) và D(5; 2).

 Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = ID ⇔ IA² = IB² = ID².

Vì IA² = IB², IB² = ID² nên

$\left\{\begin{array}{l}{\left(-3-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2={\left(-2-a\right)}^2+{\left(-5-b\right)}^2\\ {\left(-2-a\right)}^2+{\left(-5-b\right)}^2={\left(5-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+6a+9+b^2-4b+4=a^2+4a+4+b^2+10b+25\\ a^2+4a+4+b^2+10b+25=a^2-10a+25+b^2-4b+4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2a-14b=16\\ 14a+14b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$

Đường tròn tâm I(1; – 1) có bán kính

R = IA = $\sqrt{{\left(-3-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2}=5$

Phương trình đường tròn (C) là (x – 1)² + [y – (– 1)]² = 5².

Vậy phương trình đường tròn (C) là (x – 1)² + (y + 1)² = 25.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 103 Tập 2

Giải Toán 10 trang 104 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1 trang 19

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn