Giải các bất phương trình bậc hai sau: a) 4x^2 – 9x + 5 ≤ 0

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài ôn tập chương 3

Bài 51 trang 62 SBT Toán 10 Tập 1: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) 4x² – 9x + 5 ≤ 0;

b) – 3x² – x + 4 > 0;

c) 36x² – 12x + 1 > 0;

d) – 7x² + 5x + 2 < 0.

Lời giải

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 4x² – 9x + 5, có a = 4 > 0 và ∆ = (– 9)² – 4.4.5 = 1 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = $\frac{5}{4}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

f(x) < 0 khi x ∈ $\left(1;\frac{5}{4}\right)$.

Suy ra 4x² – 9x + 5 ≤ 0 khi x ∈ $\left[1;\frac{5}{4}\right]$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = $\left[1;\frac{5}{4}\right]$.

b) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 3x² – x + 4, có a = – 3 < 0 và ∆ = (– 1)² – 4.(– 3).4 = 25 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = $\frac{-4}{3}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

f(x) > 0 khi x ∈ $\left(-\frac{4}{3};1\right)$.

Suy ra – 3x² – x + 4 > 0 khi x ∈ $\left(-\frac{4}{3};1\right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = $\left(-\frac{4}{3};1\right)$.

c) Xét tam thức bậc hai f(x) = 36x² – 12x + 1, có a = 36 > 0 và ∆ = (– 12)² – 4.36.1 =

 0.

Suy ra tam thức có nghiệm kép x = $\frac{1}{6}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

f(x) > 0 khi x ≠ $\frac{1}{6}$.

Suy ra 36x² – 12x + 1 > 0 khi x ≠$\frac{1}{6}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{6}\right\}$.

d) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 7x² + 5x + 2 , có a = – 7 > 0 và ∆ = 5² – 4.(– 7).2 = 81 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{2}{7}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta được:

f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-\frac{2}{7}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Suy ra – 7x² + 5x + 2 < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-\frac{2}{7}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = $\left(-\infty ;-\frac{2}{7}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.