Bác Nam dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài ôn tập chương 3

Bài 55 trang 63 SBT Toán 10 Tập 1: Bác Nam dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 6cm x 11cm, độ rộng viền xung quanh là x cm (Hình 27). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 38 cm². Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xăng – ti – mét?

Lời giải

Đặt hình chữ nhật ABCD là phần trong của khung, hình chữ nhật MNPQ là khung ảnh hình chữ nhật như hình vẽ:

Chiều dài hình chữ nhật MNPQ là: x + 11 + x = 2x + 11 (cm).

Chiều rộng hình chữ nhật MNPQ là: x + 6 + x = 2x + 6 (cm).

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: (2x + 11)(2x + 6) = 4x² + 34x + 66 (cm²).

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: 6.11 = 66 (cm²).

Diện tích của viền khung ảnh là: 4x² + 34x + 66 – 66 = 4x² + 34x (cm²).

Vì diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 38 cm² nên ta có:

4x² + 34x ≤ 38 ⇔ 4x² + 34x – 38 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = 4x² + 34x – 38, có a = 4 > 0 và ∆ = 34² – 4.4.(– 38) = 1 764 > 0.

Suy ra tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{19}{2}$.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có: f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\frac{19}{2};1\right)$.

Do đó bất phương trình 4x² + 34x – 38 ≤ 0 khi x ∈ $\left[-\frac{19}{2};1\right]$.

Mà x > 0 nên ta có 0 < x ≤ 1 thì thỏa mãn 4x² + 34x – 38 ≤ 0.

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 xăng – ti – mét.