Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4a, AC = 5a. Tính

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 38 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4a, AC = 5a. Tính:

a) $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$;

b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí pythagoras)

⇔ BC² = (4a)² + (5a)² = 41a²

⇔ BC = $\sqrt{41}$a.

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} \\ =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB} \end{gathered}$$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{41}a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{41}a$.

b) Lấy điểm D là điểm thỏa mãn ABDC là hình chữ nhật nên AD = BC (tính chất hình hình chữ nhật).

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{41}a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{41}a.$