Cho tam giác ABC thỏa mãn độ dài vectơ AB + vectơ AC

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 40 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$  

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB$

Mà $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$ nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.