Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. a) Chứng minh C’D vuông góc (BCD’), BD’ vuông góc C’D

    Lời giải Bài 59 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 476 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

    Bài 59 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a.

    a) Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’);

    b) Tính góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’;

    c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’);

    d) Tính số đo của góc nhị diện [B, DD’, C];

    e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD’);

    g) Chứng minh B’C’ // (BCD’) và tính khoảng cách giữa đường thẳng B’C’ và mặt phẳng (BCD’);

    h) Tính thể tích của khối tứ diện C’BCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC’D).

    Lời giải:

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’)

    a) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có BC ⊥ (CDD’C’).

    Mà C’D ⊂ (CDD’C’) nên BC ⊥ C’D.

    Vì CDD’C’ là hình vuông nên C’D ⊥ CD’.

    ⦁ Ta có: C’D ⊥ BC, C’D ⊥ CD’, BC ∩ CD’ = C trong (BCD’)

    Suy ra C’D ⊥ (BCD’).

    ⦁ Hơn nữa BD’ ⊂ (BCD’) nên C’D ⊥ BD’ hay BD’ ⊥ C’D.

    ⦁ Do C’D ⊥ (BCD’), C’D ⊂ (BC’D) nên (BC’D) ⊥ (BCD’).

    b) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có AD // A’D’.

    Nên góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’ bằng góc giữa hai đường thẳng BD và AD và bằng ADB^.

    Do ABCD là hình vuông nên ADB^=45°.

    Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và A’D’ bằng 45°.

    c) Do BC ⊥ (CDD’C’) nên góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’) bằng góc giữa hai đường thẳng BD và CD và bằng BDC^.

    Do ABCD là hình vuông nên BDC^=45°.

    Vậy góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD’C’) bằng 45°.

    d) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có DD’ ⊥ (ABCD).

    Mà BD ⊂ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên DD’ ⊥ BD và DD’ ⊥ CD.

    Hơn nữa BD ∩ CD = D ∈ DD’.

    Suy ra BDC^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, DD’, C].

    Theo câu c ta có BDC^=45°.

    Vậy số đo góc nhị diện [B, DD’, C] bằng 45°.

    e) Gọi O là giao điểm của C’D và CD’.

    Theo câu a ta có: C’D ⊥ (BCD’) nên DO ⊥ (BCD’) (do O ∈ C’D).

    Như vậy: d(D, (BCD’)) = DO.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác CC’D vuông tại C ta có: C'D=C'C2+CD2=a2+a2=a2.

    Do CDD’C’ là hình vuông, O là giao điểm của C’D và CD’ nên OD=C'D2=a22.

    Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD’) bằng a22.

    g) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có B’C’ // BC.

    Mà BC ⊂ (BCD’), suy ra B’C’ // (BCD’).

    Khi đó d(B’C’, (BCD’)) = d(C’, (BCD’)).

    Theo câu a ta có C’D ⊥ (BCD’) nên C’O ⊥ (BCD’) (do O ∈ C’D).

    Suy ra d(C’, (BCD’)) = C’O.

    Do CDD’C’ là hình vuông, O là giao điểm của C’D và CD’ nên C'O=C'D2=a22.

    Vậy dB'C',BCD'=C'O=a22.

    h) ⦁ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương, nên ta có CC’ ⊥ (ABCD) hay CC’ ⊥ (BCD).

    Thể tích của khối tứ diện C’BCD có đường cao CC’ và đáy là tam giác BCD là: VC'BCD=13SBCD.CC'=13.12BC.CD.CC'

    ⦁ Do BC’, C’D, BD lần lượt là đường chéo của các hình vuông BCC’B’, CDD’C’, ABCD cạnh a.

    Nên ta có BC'=BD=C'D=a2.

    Suy ra BC’D là tam giác đều cạnh a2.

    Trong tam giác BC’D đều cạnh a, kẻ đường cao BH (H ∈ C’D) (hình vẽ dưới đây).

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. Chứng minh C’D ⊥ (BCD’), BD’ ⊥ C’D và (BC’D) ⊥ (BCD’)

    Suy ra BH cũng là đường trung tuyến của tam giác BC’D hay H là trung điểm của C’D.

    ⇒DH=C'D2=a22.

    Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác BHD vuông tại H có:

    BD2 = BH2 + HD2

    Suy ra BH=BD2−HD2=a22−a222=a62.

    Ta có diện tích tam giác BC’D là:

    SBC'D=12BH.C'D=12.a62.a2=a232.

    Xét khối tứ diện C’BCD có C là đỉnh, BC’D là đáy thì ta có công thức khác có thể tính thể tích của khối tứ diện C’BCD là:

    VC'BCD=13SBC'D⋅dC,BC'D.

    ⇒dC,BC'D=3VC'BCDSBC'D=3.a36a232=a33.

    Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC’D) bằng a33.

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 57 trang 118 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, O là hình chiếu của S trên (ABCD),...

    Bài 58 trang 118 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?...

    Bài 59 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB = a....

    Bài 60 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Một chì neo câu cá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều được làm hoàn toàn bằng chì...

    Bài 61 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước:...

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 5: Khoảng cách

    Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 476 14/11/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: