Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, O là hình chiếu của S trên (ABCD), SO = a

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Bài 57 trang 118 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, O là hình chiếu của S trên (ABCD), SO = a. Gọi M là hình chiếu của O trên CD (Hình 49).

a) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt sau đây?

A. (SAB);

B. (SAD);

C. (SBC);

D. (SBD).

b) Số đo của góc nhị diện [A, SO, M] bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 135°;

D. 150°.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC bằng:

A. a;

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2};$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

d) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. a³;

B. $\frac{a^3}{2};$

C. $\frac{a^3}{3};$

D. 3a³.

e) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SOM) bằng:

A. a;

B. $\frac{a}{2};$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2};$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

g) Côtang của góc giữa đường thẳng SM và (ABCD) bằng:

A. $\frac{1}{2};$

B. 2;

C. 1;

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: D

Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông.

Suy ra AC ⊥ BD.

Lại có O là hình chiếu của S trên (ABCD) hay SO ⊥ (ABCD).

Mà AC ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO, BD ∩ SO = O trong (SBD)

Từ đó ta có AC ⊥ (SBD).

b) Đáp án đúng là: C

Ta có: SO ⊥ (ABCD), OM ⊂ (ABCD) và OA ⊂ (ABCD).

Nên SO ⊥ OA, SO ⊥ OM.

Mà OA ∩ OM = O ∈ SO.

Do đó, là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SO, M].

Xét tam giác ACD có: O, M lần lượt là trung điểm của AC và CD.

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD nên OM // AD và $OM=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}.$

Từ đó ta có: $\widehat{DOM}=\widehat{ADO}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{ADO}=45°$ (do ABCD là hình vuông) nên $\widehat{DOM}=45°.$

Theo câu a ta có AC ⊥ BD nên $\widehat{AOD}=90°.$

Như vậy: $\widehat{AOM}=\widehat{AOD}+\widehat{DOM}=90°+45°=135°.$

Số đo của góc nhị diện [A, SO, M] bằng 135°.

c) Đáp án đúng là: B

Gọi N là trung điểm của BC.

Vì ABCD là hình vuông, AC cắt CD tại O nên ta có $OB=OC=OD=OA=\frac{AC}{2}.$

Từ đó ta có tam giác BOC cân tại O.

Mặt khác ON là đường trung tuyến trong tam giác BOC (do N là trung điểm của BC).

Suy ra ON ⊥ BC.

Lại có: SO ⊥ (ABCD), ON ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ ON.

Ta thấy: ON ⊥ BC, ON ⊥ SO hay ON là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SO và BC.

Như vậy: d(SO, BC) = ON.

Xét tam giác ABC có: O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác ABC nên $ON=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$

Vậy $d\left(SO,BC\right)=\frac{a}{2}.$

d) Đáp án đúng là: C

Thể tích của khối chóp S.ABCD có đường cao SO = a, diện tích đáy S_ABCD = a² là:

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}{a}^2.a=\frac{a^3}{3}.$

e) Đáp án đúng là: B

Ta có: SO ⊥ (ABCD), CM ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ CM.

Do M là hình chiếu của O trên CD nên OM ⊥ CD hay OM ⊥ CM.

Ta có: CM ⊥ SO, CM ⊥ OM, SO ∩ OM = O trong (SOM)

Suy ra CM ⊥ (SOM).

Như vậy: d(C, (SOM)) = CM.

Theo câu c ta có: OC = OD nên suy ra tam giác OCD cân tại O.

Mà OM ⊥ CD hay ta có OM là đường trung tuyến của tam giác OCD.

$\Rightarrow CM=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}.$

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SOM) bằng $\frac{a}{2}.$

g) Đáp án đúng là: A

Do O là hình chiếu của S trên (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SM và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SM và OM và bằng $\widehat{AMO}.$

Xét tam giác SOM vuông tại O (do SO ⊥ OM) có:

$\cot \widehat{SMO}=\frac{OM}{SO}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}.$

Vậy côtang của góc giữa đường thẳng SM và (ABCD) bằng $\frac{1}{2}$