Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa: a) f(x) = x + 2

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f(x) = x + 2;

b) g(x) = 4x² – 1;

c) $h\left(x\right)=\frac{1}{x-1}.$

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = x + 2.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x + 2) – (x + 2) = ∆x.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }1=1$

Vậy f'(x) = 1.

b) Hàm số y = g(x) = 4x² – 1.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: ∆y = g(x + ∆x) – g(x) = 4(x + ∆x)² – 1 – (4x² – 1)

= 4x² + 8x. ∆x + (∆x)² – 1 – 4x² + 1

= 8x.∆x + (∆x)².

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{8x\cdot \Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2}{\Delta x}=8x+\Delta x.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(8x+\Delta x\right)=8x.$

Vậy g'(x) = 8x.

c) Hàm số $y=h\left(x\right)=\frac{1}{x-1}.$

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: $\Delta y=h\left(x+\Delta x\right)-h\left(x\right)=\frac{1}{x+\Delta x-1}-\frac{1}{x-1}$

$=\frac{x-1-\left(x+\Delta x-1\right)}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-\Delta x}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}}{\Delta x}=\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}.$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{\left(x+\Delta x-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}.$

Vậy $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}.$