Sách bài tập Toán 9 Bài 5 (Cánh diều): Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Bài 37 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1: Hoàn thành số liệu ở bảng sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị đo đã cho nếu cần, lấy π ≈ 3,14):

Lời giải:

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là: C = 2πR.

⦁ Độ dài của cung tròn có số đo n° trong đường tròn bán kính R là: $l=\frac{\pi Rn}{180},$ suy ra $n=\frac{180l}{\pi R}.$

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là: S = πR², suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}.$

⦁ Diện tích của hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{lR}{2},$ suy ra $n=\frac{360S}{\pi R^2}$ và $l=\frac{2S}{R}.$

Áp dụng các công thức trên, ta hoàn thành được bảng như sau:

Bài 38 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1: Chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là gần giống đường tròn với tốc độ không đổi. Giả thiết quỹ đạo này là đường tròn với bán kính khoảng 385 nghìn km. Thời gian Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất khoảng 27,3 ngày.

a) Tính quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày (làm tròn kết quả đến hàng nghìn của kilômét).

b) Tính tốc độ của Mặt Trăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét trên giây).

Lời giải:

a) Quãng đường Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất chính là chu vi của đường tròn bán kính khoảng 385 nghìn km, và bằng: 2π . 385 000 = 770 000π (km).

Quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày khoảng:

$\frac{770000\pi }{27,3}\approx 89000( \text{km}).$

b) Mặt Trăng đi được quãng đường khoảng 770 000π km sau 27,3 ngày nên ta có tốc độ của Mặt Trăng khoảng:

$\frac{770000\pi \cdot 1000}{27,3\cdot 24\cdot 60\cdot 60}\approx 1026( \text{m}/\text{s}).$

Bài 39 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 5 cm, đường chéo AC = 8 cm. Vẽ các đường tròn (A; 5 cm), (C; 3 cm). Đường tròn (C) cắt BC, CD lần lượt tại E, F. Tính tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C).

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên $\widehat{A}=\widehat{C}.$ Đặt $\widehat{A}=\widehat{C}=n°.$

Độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) là: $l_1=\frac{\pi \cdot 5\cdot n}{180}\left(\text{cm}\right).$

Độ dài của cung nhỏ EF của đường tròn (C) là: $l_2=\frac{\pi \cdot 3\cdot n}{180}\left(\text{cm}\right).$

Vậy tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C) là $\frac{l_1}{l_2}=\frac{\pi \cdot 5\cdot n}{180}:\frac{\pi \cdot 3\cdot n}{180}=\frac{5}{3}.$

Bài 40 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABE vuông cân tại A với AB = AE = 2a. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O’ đường kính AE. Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn (O), (O’) (Hình 44).

Tính theo a:

a) Độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’);

b) Diện tích của phần tô màu xám theo a.

Lời giải:

a) Ta có O, O’ lần lượt là trung điểm của AB, AE, mà AB = AE nên AO = AO’ = a.

Mà M là giao điểm của (O) và (O’) nên OM = OA và O’M = O’A.

Do đó OA = OM = O’A = O’M = a, nên AOMO’ là hình thoi

Lại có $\widehat{OA{O}^{\text{'}}}=90°$ nên AOMO’ là hình vuông. Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{A{O}^{\text{'}}M}=90°.$

Do đó, độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) cùng bằng $\frac{\pi a\cdot 90}{180}=\frac{\pi a}{2}.$

Nối A với M. Khi đó diện tích của phần tô màu xám bằng 2 lần diện tích phần tô màu đỏ tạo bởi dây AM và cung AmM của đường tròn (O), và bằng 2 lần hiệu diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° và diện tích tam giác OAM.

Diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° là:

$\frac{\pi a^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi a^2}{4}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác OAM là: $\frac{1}{2}OA\cdot OM=\frac{a^2}{2}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của phần tô màu đỏ là: $\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích của phần tô màu xám là:

$2\cdot \frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{2}$ (đơn vị diện tích).

Bài 41 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2 R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.

Lời giải:

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OM² + AM²

Suy ra $AM=\sqrt{O{A}^2-O{M}^2}$ và $cos\widehat{AOM}=\frac{OM}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

Do đó $AM=\sqrt{{\left(2R\right)}^2-R^2}=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}$ và $\widehat{AOM}=60°.$

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $AM=BM=\frac{AB}{2}$ và $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=\frac{\widehat{AOB}}{2}.$

Nên $AB=2AM=2R\sqrt{3}$ và $\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60°=120°.$

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra $\widehat{MON}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60°=120°.$

Ta có:

⦁ S₁ = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra $S_1=\frac{\pi {\left(2R\right)}^2\cdot 120}{360}-\frac{1}{2}\cdot R\cdot 2R\sqrt{3}=R^2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\right);$

⦁ S₂ = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra $S_2=2\cdot \frac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}-\frac{\pi R\cdot 120}{360}=R^2\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right);$

⦁ S₃ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR².

Khi đó $S_1+S_2=R^2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\right)+R^2\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)$

$=R^2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\pi R^2=S_3.$

Vậy S₁ + S₂ = S₃.

Bài 42 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1: Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho $\widehat{MAP}=60°$ (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Lời giải:

Xét tứ giác ANO’Q có: $\widehat{AN{O}^{\text{'}}}+\widehat{AQ{O}^{\text{'}}}+\widehat{N{O}^{\text{'}}Q}+\widehat{NAQ}=360°$

Suy ra $\widehat{N{O}^{\text{'}}Q}=360°-\widehat{AN{O}^{\text{'}}}-\widehat{AQ{O}^{\text{'}}}-\widehat{NAQ}=360°-90°-90°-60°=120°.$

Tương tự, trong tứ giác AMOP ta cũng có $\widehat{MOP}=120°.$

Khi đó số đo của cung nhỏ NQ trong (O’) bằng 120° và số đo của cung lớn MP trong (O) bằng 360° – 120° = 240°.

Độ dài cung nhỏ NQ là: $l_1=\frac{\pi a\cdot 120}{180}=\frac{2\pi a}{3}.$

Độ dài cung lớn MP là: $l_2=\frac{\pi \cdot 4a\cdot 240}{180}=\frac{16\pi a}{3}.$

Do AM, AP là hai tiếp tuyến của (O) nên AM = AP và AO là tia phân giác của MAP.

Nên $\widehat{OAM}=\frac{1}{2}\widehat{MAP}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Xét ∆OAM vuông tại M có $AM=OM\cdot \cot \widehat{OAM}.$

Do AN, AQ là hai tiếp tuyến của (O’) nên AN = AQ và AO’ là tia phân giác của MAP.

Khi đó AO và AO’ trùng nhau.

Xét ∆O’AN vuông tại N có $AN=O^{\text{'}}N\cdot \cot \widehat{O^{\text{'}}AN}=O^{\text{'}}N\cdot \cot \widehat{OAM}.$

Ta có: $MN=PQ=AM-AN=OM\cdot \cot \widehat{OAM}-O^{\text{'}}N\cdot \cot \widehat{OAM}$

$=\left(OM-O^{\text{'}}N\right)\cdot \cot \widehat{OAM}=\left(4a-a\right)\cdot \cot 30°=3a\sqrt{3}.$

Độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc là:

$\frac{2\pi a}{3}+\frac{16\pi a}{3}+2\cdot 3a\sqrt{3}=6a\left(\pi +\sqrt{3}\right).$

Bài 43 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10 cm. Vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tâm O’ đường kính CD cắt nhau tại P, Q. Biết rằng đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD (Hình 47). Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O), (O’).

Lời giải:

Ta có $OP=OQ=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}$) và $O^{\text{'}}P=O^{\text{'}}Q=\frac{CD}{2}$

Mà AB = CD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OP = OQ = O’P = O’Q = 5 cm.

Do đó POQO’ là hình thoi.

Mặt khác, đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB tại O nên $\widehat{POQ}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\widehat{POQ}=90°.$

Suy ra hình thoi POQO’ là hình vuông.

Diện tích hình quạt tròn POQ là:

$S_1=\frac{\pi \cdot 5^2\cdot 90}{360}=\frac{25\pi }{4}\left( {\text{cm}}^2\right).$

Diện tích tam giác OPQ là:

$S_2=\frac{1}{2}\cdot$Diện tích hình vuông POQO’ = $\frac{1}{2}\cdot 5^2=\frac{25}{2}$ (cm²).

Diện tích phần hình tạo bởi cung nhỏ PQ của đường tròn (O) và dây PQ là:

$S_3=S_1-S_2=\frac{25}{4}\left(\pi -2\right)\left({\text{cm}}^2\right).$

Diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O) và (O’) là:

$S=2S_3=\frac{25}{2}\left(\pi -2\right)\left({\text{cm}}^2\right).$

Bài 44 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1: Bác Long dự định mua gỗ để làm một mặt bàn. Mặt bàn có dạng ở giữa là hình chữ nhật với chiều rộng 1,2 m, chiều dài 1,8 m và hai đầu là hai nửa hình tròn có đường kính là chiều rộng của hình chữ nhật như Hình 48. Tính số tiền bác Long phải trả để làm được mặt bàn đó (làm tròn kết quả đến hàng nghìn của đồng), biết giá gia công mỗi mét vuông mặt bàn là 100 000 đồng.

Lời giải:

Diện tích mặt bàn là: 1,8.1,2 + π.0,6² = 2,16 + 0,36π (cm²).

Số tiền bác Long phải trả để làm được mặt bàn đó là:

100 000.(2,16 + 0,36π) ≈ 329 000 (đồng).

Bài 45 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1: Hình 49 mô tả mặt cắt của một chi tiết máy ép nhựa có dạng ở giữa là nửa hình vành khuyên giới hạn bởi hai nửa đường tròn (O; 15 cm), (O; 10 cm) và hai đầu là hai hình chữ nhật có chiều dài 15 cm, chiều rộng 5 cm. Tính diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét vuông).

Lời giải:

Diện tích mặt cắt của hai phần chi tiết có dạng hình chữ nhật là:

2 . (15 . 5) = 150 (cm²)

Diện tích của phần chi tiết có dạng nửa hình vành khuyên là:

$\frac{1}{2}\pi \cdot \left({15}^2-{10}^2\right)=\frac{125}{2}\pi {\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}}^2).$

Diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó là:

$150+\frac{125}{2}\pi \approx 346,35\left( {\text{cm}}^2\right).$

Bài 46 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính OM = 8 cm. Gọi O’ là trung điểm của đoạn thẳng OM, vẽ đường tròn tâm O’ bán kính 16 cm. Trong đường tròn (O), kẻ dây AB đi qua O’, vuông góc với OM và đường kính CD song song với AB (Hình 50). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của centimét vuông):

a) Diện tích phần hình giới hạn bởi dây AB, cung nhỏ AD, đường kính CD và cung nhỏ BC của đường tròn (O);

b) Diện tích của phần tô màu xám.

Lời giải:

a) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) có OO’ là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác

Do OO’ là đường trung tuyến của ∆OAB nên O’ là trung điểm của AB, suy ra AB = 2AO’.

Do OO’ là đường phân giác của ∆OAB nên $\widehat{AOM}=\widehat{BOM},$ suy ra $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}.$

Do O’ là trung điểm của OM nên $O{O}^{\text{'}}=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}\cdot 8=4\left(\text{cm}\right).$

Xét ∆OO’A vuông tại O’, có:

⦁ $\cos \widehat{AO{O}^{\text{'}}}=\frac{O{O}^{\text{'}}}{OA}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\widehat{AOM}=60°,$ do đó $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=30°.$

⦁ $A{O}^{\text{'}}=OA\cdot \sin \widehat{AO{O}^{\text{'}}}=8\cdot \sin 60°=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Diện tích tam giác OAB là:

$S_1=\frac{1}{2}O{O}^{\text{'}}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\left({\text{cm}}^2\right).$

Trong đường tròn (O), có $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}=30°$ nên diện tích hình quạt tròn AOD và diện tích hình quạt tròn BOC bằng nhau và bằng:

$S_2=\frac{\pi \cdot 8^2\cdot 30}{360}=\frac{16\pi }{3}\left({\text{cm}}^2\right).$

Diện tích phần hình giới hạn bởi dây AB, cung nhỏ AD, đường kính CD và cung nhỏ BC của đường tròn (O) là:

$S_3=S_1+2S_2=16\sqrt{3}+2\cdot \frac{16\pi }{3}\approx 61\left(c{m}^2\right).$

b) Diện tích của phần tô màu xám bằng hiệu diện tích của hình tròn (O’) và hình tròn (O), và bằng:

π.16² ‒ π.8² =192π ≈ 603 (cm²).

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng, biểu đồ

Bài 2: Tần số. Tần số tương đối

Bài 3: Tần số ghép nhóm. Tần số tương đối ghép nhóm