Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Hình nón

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Hình nón

Bài 13 trang 129 SBT Toán 9 Tập 2: Một hình nón có chiều cao là 8 cm và đường kính đường tròn đáy bằng 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy là: 12 : 2 = 6 (cm).

Đường sinh của hình nón là: $l=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S = πrl = π.6.10 = 60π ≈ 60.3,14 = 188,4 (cm²).

Bài 14 trang 129 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình nón (N) có đường kính đường tròn đáy bằng 4a, đường sinh bằng 5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón (N).

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: 4a : 2 = 2a.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S = πrl = π.2a.5a = 10πa² ≈ 10.3,14.a² = 31,4a² (đơn vị diện tích).

Bài 15 trang 130 SBT Toán 9 Tập 2: Một hình nón có đường sinh dài 15 cm và diện tích xung quanh là 135π cm².

a) Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

b) Tính chiều cao của hình nón đó.

Lời giải:

a) Gọi bán kính đường tròn đáy bằng r (cm) (r > 0).

Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón đó là: πr.15 = 15πr (cm³).

Theo bài, diện tích xung quanh của hình nón là 135π cm² nên ta có:

135π = 15πr, suy ra r = 9 cm.

Vậy diện tích toàn phần của hình nón đó là:

135π + π.9² = 216π (cm²).

b) Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Do đó, chiều cao của hình nón đó là:

$h=\sqrt{{15}^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$ (cm).

Bài 16 trang 130 SBT Toán 9 Tập 2: Khi quay tam giác OHA vuông cân ở H một vòng xung quanh đường thẳng cố định OH, ta được một hình nón như ở Hình 14. Hỏi diện tích xung quanh của hình nón đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết diện tích tam giác OHA là 4 cm².

Lời giải:

Ta có diện tích của tam giác OHA vuông tại H là $\frac{1}{2}OH\cdot HA$ (cm²).

Theo bài, tam giác OHA vuông cân tại H có diện tích bằng 4 cm² nên $\frac{1}{2}OH\cdot HA=4$

Suy ra OH.HA = 8

Do đó $OH=HA=2\sqrt{2}$ cm (do ∆OHA vuông cân tại H).

Xét ∆OHA vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OH² + HA²

Suy ra $OA=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$ (cm).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đó là:

$\pi \cdot HA\cdot OA=\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot 4=8\sqrt{2}\pi \approx 8\sqrt{2}\cdot 3,14\approx 36$ (cm²).

Bài 17 trang 130 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình chóp tam giác đều ABCD có các cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD (Hình 15). Tính diện tích toàn phần của hình nón (N) đó theo a.

Lời giải:

Vì ABCD là hình chóp tứ giác đều nên AB = AC = AD = BC = CD = DB = a.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD nên bán kính R của đường tròn tâm O là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Hình nón (N) có bán kính đáy là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và đường sinh là AB = a nên diện tích toàn phần của nó là:

$\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot a+\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{\pi a^2\left(1+\sqrt{3}\right)}{3}.$

Bài 18 trang 130 SBT Toán 9 Tập 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

a) Nếu bán kính đáy của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên chiều cao thì thể tích của hình nón đó sẽ tăng lên hai lần.

b) Nếu chiều cao của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy thì thể tích của hình nón đó sẽ tăng lên hai lần.

c) Nếu bán kính đáy và chiều cao của một hình nón cùng tăng lên hai lần thì thể tích của hình nón đó sẽ tăng lên bốn lần.

Lời giải:

Giả sử hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao là h.

Khi đó thể tích của hình nón là: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

⦁ Nếu bán kính đáy của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên chiều cao thì thể tích của hình nón đó là: $V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(2r\right)}^{2}h=4\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=4V.$

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 4 lần. Do đó phát biểu a) là sai.

⦁ Nếu chiều cao của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy thì thể tích của hình nón đó là: $V_2=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot 2h=2\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=2V.$

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 2 lần. Do đó phát biểu b) là đúng.

⦁ Nếu bán kính đáy và chiều cao của một hình nón cùng tăng lên hai lần thì thể tích của hình nón đó là: $V_2=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(2r\right)}^2\cdot 2h=8\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=8V.$

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 8 lần. Do đó phát biểu c) là sai.

Vậy phát biểu a) và c) là sai.

Bài 19 trang 130 SBT Toán 9 Tập 2: Một hình nón có diện tích xung quanh và diện tích toàn phần lần lượt bằng 65π cm², 115π cm². Hỏi chiều cao của hình nón đó bằng bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của hình nón đó là r (cm) (r > 0).

Kí hiệu diện tích đáy, diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình nón đó lần lượt là S_đáy, S_tp, S_xq.

Diện tích đáy của hình nón đó là: S_đáy = πr² (cm²).

Ta có S_tp = S_xq + S_đáy.

Nên 115π = 65π + πr²

Suy ra πr² = 50π

Do đó r² = 50, từ đó suy ra $r=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ (m) (do r > 0).

Mặt khác, diện tích xung quanh của hình nón là 65π cm² nên đường sinh l của nó thỏa mãn: $\pi \cdot 5\sqrt{2}\cdot l=65\pi .$

Suy ra $l=\frac{65\pi }{5\sqrt{2}\cdot \pi }=\frac{13\sqrt{2}}{2}$ (cm).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Vậy chiều cao của hình nón đó là:

$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{\left(\frac{13\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{169\cdot 2}{4}-50}=\sqrt{\frac{69}{2}}\approx 6$ (cm).

Bài 20 trang 130, 131 SBT Toán 9 Tập 2: Hình 16 minh hoạ hình nón đỉnh B với đường cao BH và hình nón đỉnh C với đường cao CH có chung đường tròn đáy tâm H.

a) Chứng minh rằng: tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và thể tích của hình nón đỉnh C bằng tỉ số đường cao BH và đường cao CH.

b) Phát biểu sau đúng hay sai: “Tỉ số thể tích hai hình nón có cùng bán kính đường tròn đáy bằng tỉ số hai đường cao tương ứng của hai hình nón đó”? Vì sao?

Lời giải:

a) Do hình nón đỉnh B và hình nón đỉnh C có cùng đáy nên ta gọi bán kính đáy của hai hình nón là: r (r > 0).

Thể tích của hình nón đỉnh B là: $V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot BH.$

Thể tích của hình nón đỉnh C là: $V^{\text{'}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot CH.$

Tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và hình nón đỉnh C là: $\frac{V}{V^{\text{'}}}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2\cdot BH}{\frac{1}{3}\pi r^2\cdot CH}=\frac{BH}{CH}.$

Vậy tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và thể tích của hình nón đỉnh C bằng tỉ số đường cao BH và đường cao CH.

b) Theo chứng minh ở câu a) ta có phát biểu đã nêu là đúng.

Bài 21 trang 131 SBT Toán 9 Tập 2: Cơ sở sản xuất A làm 1 500 chiếc kem giống nhau như Hình 17 để cung cấp cho các cửa hàng bán trong một ngày lễ. Cốc đựng kem có dạng hình nón với bề dày không đáng kể, chiều cao bằng 10 cm, đường kính miệng cốc bằng 6 cm. Kem được đổ đầy vào cốc và dư thêm lên phía trên miệng cốc một lượng bằng 10% lượng kem ở trong cốc. Để làm được 1 500 chiếc kem đó thì cơ sở sản xuất A cần chuẩn bị một lượng kem bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Lượng kem ở phía trong cốc của một chiếc kem chính là thể tích của hình nón có bán kính là $\frac{6}{2}=3$ cm và chiều cao là 10 cm, và bằng:

$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=30\pi \left({\text{cm}}^3\right).$

Lượng kem đổ dư thêm lên phía trên miệng cốc của một chiếc kem là:

30π. 10% = 3π (cm³).

Lượng kem mà cơ sở sản xuất A cần chuẩn bị để làm ra 1 500 chiếc kem là:

(30π + 3π) .1 500 = 49 500π ≈ 49 500 . 3,14 = 155 430 (cm³).

Bài 22 trang 131 SBT Toán 9 Tập 2: Bác Hà thuê xe cải tiến (Hình 18a) chuyển một đống cát có dạng hình nón với chu vi đáy 9,42 m và chiều cao là 1,2 m (Hình 18b) để xây tường nhà. Biết thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước dài 1,57 m, rộng 0,8 m và cao 0,4 m. Trong mỗi chuyến xe, bác Hà chở lượng cát ít hơn thể tích thực của xe là 5%. Hỏi bác Hà cần phải chuẩn bị ít nhất bao nhiêu tiền để chuyển hết đống cát trên, biết rằng giá vận chuyển của một chuyến xe là 90 000 đồng?

Lời giải:

Gọi bán kính đường tròn đáy của đống cát hình nón đó là r (m) (r > 0).

Do hình nón có chu vi đáy bằng 9,42 m nên ta có 2πr = 9,42 (m).

Suy ra: $r=\frac{9,42}{2\pi }\approx \frac{9,42}{2\cdot 3,14}=1,5$ (m).

Thể tích đống cát có dạng hình nón là:

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h\approx \frac{1}{3}\cdot 3,14\cdot 1,5^2\cdot 1,2=2,826$ (m³).

Thể tích thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật là:

1,57 . 0,8 . 0,4 = 0,5024 (m³).

Mỗi chuyến xe thực chở là:

0,5024.(100% – 5%) = 0,5024 . 95% = 0,47728 (m³).

Ta có: 2,826 : 0,47728 ≈ 5,921.

Vậy để chuyển hết đống cát trên bác Hà cần sử dụng ít nhất 6 chuyến xe và phải dùng số tiền ít nhất là: 6 . 90 000 = 540 000 (đồng).

Bài 23 trang 131 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm các hình ảnh hình nón trong thực tế.

Lời giải:

Một số hình ảnh hình nón trong thực tế:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phép quay

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Hình trụ

Bài 3: Hình cầu

Bài tập cuối chương 10