Sách bài tập Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 1 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 25 cm). Tính độ dài dây lớn nhất của đường tròn đó.

Lời giải:

Đường tròn (O; 25 cm) có đường kính là 2.25 = 50 cm.

Vì trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên độ dài dây lớn nhất của đường tròn (O; 25 cm) là 50 cm.

Bài 2 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 4 cm), (O’; 1 cm). Xét vị trí tương đối của hai đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) OO’ = 4,5 cm;

b) OO’ = 6 cm;

c) OO’ = 2 cm.

Lời giải:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 4 cm, r = 1 cm.

Khi đó, R ‒ r = 4 ‒ 1 = 3 (cm) và R + r = 4 + 1 = 5 (cm).

a) Ta có: 3 < 4,5 < 5 nên R ‒ r < OO’ < R + r.

Vậy hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 1 cm) cắt nhau.

b) Do 5 < 6 nên R + r < OO’

Vậy hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 1 cm) ở ngoài nhau.

c) Do 3 > 2 nên R ‒ r > OO’

Vậy đường tròn (O; 4 cm) đựng đường tròn (O’; 1 cm).

Bài 3 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 3,5 cm) và (O’; 4,5 cm). Tìm độ dài OO’ sao cho hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài.

Lời giải:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 3,5 cm và r = 4,5 cm.

Hai đường tròn (O; 3,5 cm) và (O’; 4,5 cm) tiếp xúc ngoài khi

OO’ = R + r = 3,5 + 4,5 = 8 (cm).

Bài 4 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 17 cm) và (O’; 10 cm) cắt nhau tại A và B. Biết rằng OO’ = 21 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của OO’ với AB (hình vẽ).

Ta có OA = OB (bán kính đường tròn tâm O) và O’A = O’B (bán kính đường tròn tâm O’)

Suy ra OO’là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó OO’ ⊥ AB tại trung điểm H của AB.

Đặt OH = x(cm) thì O’H = OO’ – OH = 21 ‒ x(cm).

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = AH² + OH², suy ra AH² = OA² ‒ OH².

Xét ∆O’AH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

O’A² = AH² + O’H², suy ra AH² = O’A² ‒ O’H².

Do đó OA² ‒ OH² = O’A² ‒ O’H²

Suy ra: 17² ‒ x² = 10² ‒ (21 ‒ x)²

289 – x² = 100 – 441 + 42x – x²

42x = 630

x = 15 (cm).

Do đó AH² = OA² ‒ OH² = 17² – x² = 17² – 15² = 64.

Suy ra $AH=\sqrt{64}=8 \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm.}$

Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2AH = 2.8 = 16 cm.

Vậy AB = 16 cm.

Bài 5 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Chứng minh tứ giác OAO’B là hình thoi; từ đó, suy ra AB cắt OO’ tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải:

Tứ giác OAO’B có OA = OB = O’A = O’B (cùng bằng bán kính của (O) và (O’))

Suy ra tứ giác OAO’B là hình thoi.

Do đó hai đường chéo AB và OO’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Bài 6 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1: Hình 7 mô tả công trình xây dựng cây cầu bắc qua một hồ nước với mặt hồ có dạng hình tròn tâm O bán kính 2 km. Cây cầu có hai đầu cầu là hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O. Tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ tâm O của hồ nước đến cây cầu là OH = 1 732 m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Do hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O bán kính 2 km nên ta có: OA = OB = 2 km = 2 000 m.

Xét ∆OAB có OA = OB (do A, B cùng nằm trên đường tròn tâm O) nên ∆OAB cân tại O. Do đó đường cao OH của ∆OAB đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AB, hay $AH=BH=\frac{AB}{2}.$

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OH² + AH²

Suy ra AH² = OA² – OH² = 2 000² – 1 732² = 1 000 176.

Do đó $AH=\sqrt{1 000 176} \text{m}.$

Vậy $AB=2AH=2\sqrt{1 000 176}\approx 2 000 m.$

Bài 7 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1: Hai hòn đảo được xem như hai hình tròn có khoảng cách từ tâm hòn đảo này đến tâm hòn đảo kia là khoảng 950 m. Biết rằng hòn đảo lớn có bán kính khoảng 500 m, còn đảo nhỏ có bán kính khoảng 300 m. Người ta cần xây dựng một cây cầu bắc từ đảo này sang đảo kia. Hãy chọn vị trí để xây cầu sao cho chiều dài cây cầu là ngắn nhất, khi đó tính chiều dài cây cầu.

Lời giải:

Gọi hòn đảo lớn là đường tròn (O; 500 m) và hòn đảo nhỏ là đường tròn (O’; 300 m). Lấy A thuộc đường tròn (O) và B thuộc đường tròn tâm (O’) là hai vị trí đầu cầu (hình vẽ).

Khi đó, AB là chiều dài cây cầu và OO’ = 950 m, OA = 500 m, O’B = 300 m.

Xét ba điểm O’, A, B, ta có: AB ≥ O’A ‒ O’B.

Xét ba điểm O, O’, A, ta có: O’A ≥ OO’ ‒ OA.

Do đó AB ≥ OO’ ‒ OA ‒ O’B hay AB ≥ 150 m.

Dấu “=“ xảy ra khi bốn điểm O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự đó.

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu có chiều dài ngắn nhất là 150 m.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn tâm O’ đường kính OA.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Dây AD của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại C. Chứng minh AC = CD.

Lời giải:

a) Do OO’ = OA ‒ O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A.

b) Xét tam giác ACO, ta có: O’A = O’C = OO’(bán kính đường tròn tâm O’) hay $O^{\text{'}}C=\frac{1}{2}AO$

Suy ra tam giác ACO vuông tại C hay OC ⊥ AD.

Xét tam giác OAD có OA = OD (bán kính đường tròn tâm O) nên ∆OAD cân tại O.

Suy ra đường cao OC của tam giác cũng đồng thời là đường trung tuyến, hay C là trung điểm của AD. Do đó AC = CD.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 3 cm) và (O’; 2 cm) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng đi qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại B và C (B và C khác A).

a) Chứng minh OB // O’C.

b) Cho AB = 5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC.

Lời giải:

a)Vì A, B ∈ (O; 3 cm) nên OA = OB = 3 cm.

Do đó ∆OAB cân tại O, suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}$ (1)

Vì A, C ∈ (O’; 2 cm) nên O’A = O’C = 2 cm.

Do đó ∆O’AC cân tại O’, suy ra $\widehat{O^{\text{'}}AC}=\widehat{O^{\text{'}}CA}$ (2)

Mà $\widehat{O^{\text{'}}AC}=\widehat{OAB}$ (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{O^{\text{'}}CA}$ hay $\widehat{OBC}=\widehat{O^{\text{'}}CB}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // O’C.

b)Vì OB // O’C nên theo định lí Thalès ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{O^{\text{'}}A}$ hay $\frac{5}{AC}=\frac{3}{2}.$

Do đó $AC=\frac{2\cdot 5}{3}=\frac{10}{3} \text{\hspace{0.17em}cm}.$

Bài 10 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1: Trong mỗi hình 8a, 8b, 8c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Hình nào có hệ thống bánh răng chuyển động được? Hình nào có hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Lời giải:

Hệ thống bánh răng ở các hình 8a, 8b chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở Hình 8c không chuyển động được.

Xét hệ thống bánh răng ở Hình 8c.

Khi bánh răng 1 chuyển động theo chiều kim đồng hồ → bánh răng 2 chuyển động ngược chiều kim đồng hồ → bánh răng 3 chuyển động theo chiều kim đồng hồ → bánh răng 4 chuyển động ngược chiều kim đồng hồ → bánh răng 5 chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Tuy nhiên, khi bánh răng 1 chuyển động theo chiều kim đồng hồ → bánh răng 5 chuyển động ngược chiều kim đồng hồ.

Do vậy hệ thống bánh răng ở Hình 8c không chuyển động được.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Bài tập cuối chương 5