Sách bài tập Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Bất đẳng thức

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức - Cánh diều

Bài 1 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho các số a, b, c, d đều khác 0 thoả mãn a > b và c > d. Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào đúng?

a) a + c > b + d.

b) ac > bd.

c) a – d > b – c.

d) $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}.$

Lời giải:

⦁ Ta có: a > b nên a + c > b + c.

Mà c > d nên b + c > b + d

Suy ra a + c > b + c > b + d. Do đó bất đẳng thức a) là đúng.

⦁ Ta có: a > b nên ac > bc nếu c > 0.

Mà c > d nên bc > bd nếu b > 0.

Khi đó ac > bc > bd khi và chỉ khi b > 0 và c > 0.

Do đó bất đẳng thức b) là chưa đúng do chưa đủ điều kiện kết luận..

⦁ Ta có: a > b nên a – d > b – d.

Mà c > d nên –c < –d, suy ra b – c < b – d.

Suy ra a – d > b – d > b – c. Do đó bất đẳng thức c) là đúng.

⦁ Ta có: a > c nên $\frac{a}{c}>\frac{c}{c}$ nếu c > 0, hay với c > 0 thì $\frac{a}{c}>1.$

Mà b > d nên $\frac{b}{d}<\frac{d}{d}$ nếu d < 0, hay với d < 0 thì $\frac{b}{d}<1.$

Khi đó, $\frac{a}{c}>1>\frac{b}{d}$ khi và chỉ khi c > 0 và d < 0.

Do đó bất đẳng thức d) là chưa đúng do chưa đủ điều kiện kết luận.

Vậy các bất đẳng thức đúng là a), c).

Bài 2 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a < b. So sánh:

a) M = ‒24(a + 23) và N = ‒24(b + 23);

b) $P=a\sqrt{12}-24$ và $Q=b\sqrt{12}-23.$

Lời giải:

a) Do a < b nên a + 23 < b + 23, do đó ‒24(a + 23) > ‒24(b + 23).

Vậy M > N.

b) Do a < b nên $a\sqrt{12}<b\sqrt{12},$ do đó $a\sqrt{12}-24<b\sqrt{12}-24$

Lại có $b\sqrt{12}-24<b\sqrt{12}-24+1$ hay $b\sqrt{12}-24<b\sqrt{12}-23$

Nên $a\sqrt{12}-24<b\sqrt{12}-23.$

Vậy P < Q.

Bài 3 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho x, y là các số thực tuỳ ý thoả mãn x > y. Bất đẳng thức x² > y² là đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải:

Bất đẳng thức x² > y² là sai.

Chẳng hạn, chọn x = ‒1 và y = ‒2 ta có: x² = (‒1)² = 1 và y² = (‒2)² = 4.

Khi đó x > y nhưng x² < y².

Bài 4 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c, d là các số không âm thoả mãn a > c + d, b > c + d. Chứng minh:

a) a + 2b > 3c + 3d;

b) a² + b² > 2c² + 2cd + 2d²;

c) ab > c² + cd + d².

Lời giải:

Do a, b, c, d là các số không âm nên c + d cũng không âm.

Khi đó, với a > c + d ≥ 0 và b > c + d ≥ 0, ta có:

a) a + 2b > c + d + 2b > c + d + 2.(c + d)

Suy ra a + 2b > 3c + 3d;

b) a² + b² > (c + d)² + b² > (c + d)² + (c + d)²

Hay a² + b² > 2c² + 4cd + 2d²

Mà 2c² + 4cd + 2d² > 2c² + 2cd + 2d².

Nên a² + b² > 2c² + 2cd + 2d².

c) ab > (c + d)b (do b ≥ 0)

Mà (c + d)b > (c + d)(c + d) (do c + d ≥ 0)

Suy ra ab > (c + d)² hay ab > c² + 2cd + d²

Do đó ab > c² + cd + d².

Bài 5 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh:

a) x² + y² ≥ –2xy;

b) x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx;

c) 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)².

Lời giải:

a) Với hai số thực x, y tùy ý, ta có: (x + y)² ≥ 0 hay x² + 2xy + y² ≥ 0

Do đó x² + y² ≥ –2xy.

b) Với ba số thực x, y, z tùy ý, ta có:

(x – y)² ≥ 0; (y – z)² ≥ 0; (z – x)² ≥ 0

Suy ra (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

Hay x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2zx + x² ≥ 0

Do đó 2x² + 2y² + 2z² ≥ 2xy + 2yz + 2zx

Suy ra x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx.

c) Xét hiệu:

3(x² + y² + z²) – (x + y + z)²

= 3x² + 3y² + 3z² – (x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx)

= 3x² + 3y² + 3z² – x² – y² – z² – 2xy – 2yz – 2zx

= 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx

Mà theo câu b, ta có 2x² + 2y² + 2z² ≥ 2xy + 2yz + 2zx

Hay 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx ≥ 0

Suy ra 3(x² + y² + z²) – (x + y + z)² ≥ 0

Vậy 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)².

Bài 6 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a) $\sqrt{5}-\sqrt{7}<\sqrt{6}-2;$

b) $\sqrt{10}+\sqrt{11}-\sqrt{7}<\sqrt{10}+\sqrt{13}-\sqrt{5};$

c) 3.1 024² > 2²¹.

Lời giải:

a) Do 5 < 6 nên $\sqrt{5}<\sqrt{6}$

Do 4 > 7 nên $\sqrt{4}<\sqrt{7}$

Suy ra $\sqrt{5}+\sqrt{4}<\sqrt{6}+\sqrt{7}$

Do đó $\sqrt{5}-\sqrt{7}<\sqrt{6}-\sqrt{4}$ hay $\sqrt{5}-\sqrt{7}<\sqrt{6}-2.$

b) Do 11 < 13 nên $\sqrt{11}<\sqrt{13}$

Do 5 < 7 nên $\sqrt{5}<\sqrt{7}$

Suy ra $\sqrt{11}+\sqrt{5}<\sqrt{13}+\sqrt{7}$

Do đó $\sqrt{11}-\sqrt{7}<\sqrt{13}-\sqrt{5}$

Vì vậy, $\sqrt{10}+\sqrt{11}-\sqrt{7}<\sqrt{10}+\sqrt{13}-\sqrt{5}.$

c) Ta có: 2²¹ = 2.2²⁰ = 2.(2¹⁰)² = 2.1 024²

Do 3 > 2 nên 3.1 024² > 2.1 024².

Do đó 3.1 024² > 2²¹.

Bài 7 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca);

b) $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$

Lời giải:

a) Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b.

Ta có a < b + c nên a² < a(b + c).

Tương tự, ta có: b² < b(c + a), c² < c(a + b).

Do đó a² + b² + c² < a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)

Hay a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

b) Theo kết quả Ví dụ 2c, trang 32, SBT Toán lớp 9, Tập một, ta có:

$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge \frac{4}{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}$

Hay $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}.$

Tương tự, ta chứng minh được

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge \frac{2}{a}.$

Do đó $\frac{2}{a+b-c}+\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\ge \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}.$

Vậy $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$

Bài 8 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Theo Tổng cục Môi trường, chỉ số chất lượng không khí được tính theo thang điểm (khoảng giá trị AQI) tương ứng với biểu tượng và màu sắc để cảnh báo chất lượng không khí và mức độ ảnh hưởng tới sức khoẻ con người, cụ thể như sau (Bảng 2):

Chỉ số AQI tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La ghi nhận vào sáng ngày 09/01/2023 lần lượt là: 338; 406; 312,9; 78 (Nguồn: Tạp chí điện tử Môi truờng và Cuộc sống). Dựa vào Bảng 2, cho biết chất lượng không khí vào sáng 09/01/2023 tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La ở mức nào trong các mức sau: Tốt, Trung bình, Kém, Xấu, Rất xấu, Nguy hại.

Lời giải:

Do 301 < 338 < 500;

301 < 406 < 500;

301 < 312,9 < 500;

51 < 78 < 100.

Nên chất lượng không khí vào sáng ngày 09/01/2023 tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La lần lượt ở mức Nguy hại, Nguy hại, Nguy hại, Trung bình.

Bài 9 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Một cửa hàng nhập về 60 chiếc điện thoại từ nước ngoài với giá nhập vào là 20 triệu đồng/chiếc. Thuế và phí vận chuyển của 60 chiếc điện thoại đó lần lượt là 36 triệu đồng và 20 triệu đồng. Khi về Việt Nam, cửa hàng đó đã bán mỗi chiếc điện thoại với giá bán bằng 125% giá nhập vào. Nhận định “Sau khi bán hết 60 chiếc điện thoại đó, cửa hàng đã lãi hơn 250 triệu đồng” là đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải:

Giá bán của mỗi chiếc điện thoại là:

20.125% = 25 (triệu đồng).

Số tiền cửa hàng nhận được sau khi bán hết 60 chiếc điện thoại là:

60 . 25 = 1 500 (triệu đồng).

Số tiền cửa hàng dùng để nhập 60 chiếc điện thoại là:

60 . 20 = 1 200 (triệu đồng).

Số tiền lãi mà cửa hàng đó thu được khi bán hết 60 chiếc điện thoại là:

1 500 ‒ (1 200 + 36 + 20) = 244 (triệu đồng).

Do 244 < 250 nên nhận định đã cho là sai.

Bài 10 trang 37 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn

$\frac{AB\cdot BC+AD\cdot DC}{2}\text{.}$

Lời giải:

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, AK vuông góc với CD tại K.

Khi đó, diện tích của tam giác ABC là: $S_1=\frac{AB\cdot CH}{2}$ và diện tích của tam giác ACD là: $S_2=\frac{DC\cdot AK}{2}.$

Diện tích của tứ giác ABCD là:

$S=S_1+S_2=\frac{AB\cdot CH+AK\cdot DC}{2}.$

Mà CH ≤ BC và AK ≤ AD (trong các đường xiên, đường vuông góc có độ dài ngắn nhất), suy ra $S\le \frac{AB\cdot BC+AD\cdot DC}{2}.$

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn $\frac{AB\cdot BC+AD\cdot DC}{2}\text{.}$

Bài 11 trang 37 SBT Toán 9 Tập 1: Bác Long dùng 80 m lưới thép gai để rào một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật. Bác Long đã tận dụng bờ giậu có sẵn để làm một cạnh hàng rào của mảnh vườn. Tìm các kích thước của mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà bác Long rào được bằng 80 m lưới thép gai.

Lời giải:

Gọi x (m) là độ dài cạnh song song với bờ giậu và y (m) là độ dài cạnh vuông góc với bờ giậu (x > 0, y > 0).

Do bác Long đã tận dụng bờ giậu có sẵn để làm một cạnh hàng rào của mảnh vườn nên bác Long chỉ cần rào thêm một cạnh song song với bờ giậu và hai cạnh vuông góc với bờ giậu.

Khi đó, ta có: x + 2y = 80 hay x = 80 ‒ 2y

Diện tích của mảnh vườn là:

S = xy = (80 ‒2y)y = ‒2y² + 80y

= ‒2(y² ‒ 40y + 400) + 800

= ‒ 2(y ‒ 20)² + 800 (m²).

Do (y – 20)² ≥ 0 với mọi y nên ‒ 2(y ‒ 20)² + 800 ≤ 800.

Do đó, diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long rào được là 800 m².

Dấu “=” xảy ra khi y ‒ 20 = 0 hay y = 20.

Thay y = 20 vào x = 80 ‒ 2y, ta được: x = 80 ‒ 2.20 = 40.

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà bác Long rào được có chiều dài 40 m và chiều rộng 20 m.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực

Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số